1、“.....借助斜线的方向向量与平面法向量的夹角转化变式训练如图，平面⊥平面成角为所以，所以直线与平面所成角的正弦值为规律方法由于，又⊥平面，因此可用所以⊥，即⊥由知设平面的法向量为，则不妨取设直线与平面所所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，，所以，，是棱的中点图求证⊥求直线与平面所成角的正弦值解因为⊥平面，⊥，所以分别以在向量上的投影的绝对值，故点到平面的距离为考向利用空间向量求线面角典例南师附中模拟如图，在直三棱柱中，，设平面的法向量为，则，即取，解得设点到平面的距离为，则为，与所成角的大小为，如图，分别以所在直线为轴建立坐标系，则，，设与所成的角为，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，......”。

2、“.....要注意二者的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线所成的角当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角变式训练江苏高考冲刺调研卷如图，，由题意⊥，即，即的长为规律方法两条异面直线所成角的范围是而其方向向量夹角的范围是所以，，则，设平面的法向量为，则令为，则，所以,令，则，所以是平面的个法向量因为，分别为，的中点，即直线与所成角的余弦值为设的长为，则，从而，设平面的法向量平行的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，从而,设直线与所成角为，则平行的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，从而,设直线与所成角为，则即直线与所成角的余弦值为设的长为，则，从而，设平面的法向量为，则，所以,令，则，所以是平面的个法向量因为，分别为，的中点，所以......”。

3、“.....则，设平面的法向量为，则令，由题意⊥，即，即的长为规律方法两条异面直线所成角的范围是而其方向向量夹角的范围是要注意二者的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线所成的角当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角变式训练江苏高考冲刺调研卷如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，⊥底面为的中点图求异面直线与所成角的大小求点到平面的距离解作⊥于点，如图，分别以所在直线为轴建立坐标系，则，，设与所成的角为与所成角的大小为，，设平面的法向量为，则，即取，解得设点到平面的距离为，则为在向量上的投影的绝对值，故点到平面的距离为考向利用空间向量求线面角典例南师附中模拟如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点图求证⊥求直线与平面所成角的正弦值解因为⊥平面，⊥，所以分别以所在直线为轴......”。

4、“.....轴建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，，所以所以⊥，即⊥由知设平面的法向量为，则不妨取设直线与平面所成角为所以，所以直线与平面所成角的正弦值为规律方法由于，又⊥平面，因此可用空间向量求解利用空间向量求线面角有两种途径是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角或其补角二是借助平面的法向量，借助斜线的方向向量与平面法向量的夹角转化变式训练如图，平面⊥平面，是等腰直角三角形四边形是直角梯形，，⊥分别为的中点，求直线和平面所成角的正弦值图解⊥，又平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，⊥平面，，⊥平面如图所示，以为原点，分别以，为，轴，以过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系设各点坐标为，则，设平面的法向量，则由⊥且⊥可得，令，则，设直线和平面所成角为，则，，直线和平面所成角的正弦值为考向利用空间向量求二面角高频考点故二面角的余弦值为具备种思想用向量法解决立体几何问题，是空间向量的个具体应用......”。

5、“.....这种方法可把复杂的推理证明辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想防范易错点利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等个平面的法向量指向二面角的内部，另个平面的法向量指向二面角的外部，还是互补两个法向量同时指向二面角的内部或外部，这是利用向量求二面角的难点易错点牢记个空间角异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是，规范解答之空间向量在求二面角中的应用分辽宁高考如图，和所在平面互相垂直，且，分别为，的中点图求证⊥求二面角的正弦值规范解答示例由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得因而，分所以因此从而⊥......”。

6、“.....平面的个法向量为设平面的法向量为，又，，由得其中个分设二面角的大小为，且由题意知为锐角，则，因此，即所求二面角的正弦值为分构建答题模板第步建立空间直角坐标系，写出各点坐标⇓第二步证明⊥⇓第三步求平面的法向量⇓第四步求二面角的正弦值智慧心语易错提示无法建立空间直角坐标系，找不到解题思路不能确定二面角的余弦值是，还是防范措施当几何体中没有互相垂直的三条线时，应作辅助线判断法向量的夹角与二面角的大小关系，般有两种方法是观察法，借助几何体观察二面角是锐二面角还是钝二面角二是判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，个指向内另个指向外则向量夹角与二面角相等类题通关如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中分别为，的中点图求异面直线与所成的角的大小求平面与平面所成锐二面角的余弦值解由于为正四棱柱，不妨以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则则所以，......”。

7、“.....则，所以，即异面直线与所成的角为设平面的个法向量为,因为⊥，所以，即因为⊥，所以，即令可得平面的个法向量为同理可知平面的个法向量为所以设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为固基础自主落实提知能典例探究课后限时自测启智慧高考研析第七节立体几何中的向量方法Ⅱ求空间角理考纲传真要求内容直线的方向向量与平面的法向量空间向量的应用求两条异面直线所成角设，分别是两异面直线，的方向向量，则与所成的角与的夹角范围求法求直线与平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则求二面角的大小若分别是二面角的两个面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角如图设，分别是二面角的两个面，的法向量，则向量与的夹角或其补角的大小就是如图二面角的平面角的大小夯基释疑判断下列结论的正误正确的打......”。

8、“.....分别是两条异面直线，的方向向量，若则两异面直线所成的角为解析中应为相等或互补互余或相差中应为相等或互补中角应为答案教材习题改编已知向量,是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成的角为解析所以直线与平面成角答案将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线与所成的角的大小是解析建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，答案徐州质检如图，在直三棱柱中，已知则异面直线与夹角的余弦值为图解析以为正交基底，建立空间直角坐标系则所以,因为所以异面直线与夹角的余弦值为答案已知点分别在正方体的棱，上，且则平面与平面所成的二面角的正切值为解析如图，建立直角坐标系，设，由已知条件，，，，，设平面的法向量为，面与面所成的二面角为，由，得，令，则设平面的法向量为......”。

9、“.....三棱锥中，已知⊥平面，是边长为的正三角形分别为，中点图若，求直线与所成角的余弦值若平面⊥平面，求的长解如图，取的中点，连结，则⊥以为坐标原点，过且与平行的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，从而,设直线与所成角为，则即直线与所成角的余弦值为设的长为，则，从而，设平面的法向量为，则，所以,令，则，所以是平面的个法向量因为，分别为，的中点，所以，，则，设平面的法向量为，则令，由题意⊥，即，即的长为规律方法两条异面直线所成角的范围是而其方向向量夹角的范围是要注意二者的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线所成的角当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角变式训练江苏高考冲刺调研卷如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，......”。