1、“.....且⊥，则与的夹角是考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算关键点平面图形中，合理选取基底是关键在平面图形中，把向量用基底表示，用基底的夹角和模计算数量积考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考天津卷已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，若，则考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算选根据条件把，分别用，和，表示，把，分别用，表所以所以向量的数量积求夹角和模第三步，根据公式求解出这两个，且与的夹角等于与的夹角，则先求出的坐标，计算出与，与的数量积，再根据与的夹角等于与的夹角求出的值因为向量考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模高考四川卷平面向量的夹角为，则考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模先计算两个向量的模和数量积，再利用向量的夹角公式求解......”。

2、“.....且，向量与第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模重点准确计算数量积取最大值考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算利用坐标计算平面向量的数量积第步，欲计算两个向量的数量积，先根据共线垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用为坐标原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则设则，令，当过点,时，考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算石家庄质检在矩形中，为的中点，若为该矩形内含边界任意点，则的最大值为以点确定向量的坐标是计算数量积的技巧用坐标表示向量，用代数法计算数量积考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考陕西卷设，得，之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量第二......”。

3、“.....有以下几种思路若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算第，根据图形，即又因为所以考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算根据平面向量的数量积的列方程求解由，得因为，所以，则的值是考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算以，为基底，将已知条件中的有关向量用，表示出来，即由解得考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考江苏卷如图，在平行四边形中，已知，点突破题型透析考点平面向量数量积的运算点突破题型透析考点平面向量数量积的运算即由解得考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考江苏卷如图，在平行四边形中，已知，则的值是考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算以，为基底，将已知条件中的有关向量用，表示出来，列方程求解由，得因为，所以......”。

4、“.....有以下几种思路若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算第，根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量第二，根据平面向量的数量积的定义进行计算求解考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算关键点确定向量的坐标是计算数量积的技巧用坐标表示向量，用代数法计算数量积考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考陕西卷设，得，考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算石家庄质检在矩形中，为的中点，若为该矩形内含边界任意点，则的最大值为以为坐标原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则设则，令，当过点,时取最大值考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算利用坐标计算平面向量的数量积第步，欲计算两个向量的数量积，先根据共线垂直等条件计算出这两个向量的坐标......”。

5、“.....根据数量积的坐标公式进行运算即可考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模重点准确计算数量积是重点考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模高考江西卷已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模先计算两个向量的模和数量积，再利用向量的夹角公式求解，考点突破题型透析考点二利用向量的数量积求夹角和模高考四川卷平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则先求出的坐标，计算出与，与的数量积，再根据与的夹角等于与的夹角求出的值因为向量所以所以向量的数量积求夹角和模第三步，根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值第四步，根据两个向量夹角的范围在，内及其余弦值，求出这两个向量的夹角考点突破题型透析考点三平面向量数量积的综合应用突破点找对数量积与研究问题间的关系及转化方向向量的数量积可与平面几何知识三角知识结合......”。

6、“.....的坐标，然后根据投影的定义进行计算由已知，得因此在方向上的投影为考点突破题型透析考点三平面向量数量积的综合应用辽宁五校联考在中，若，则是锐角三角形是直角三角形是钝角三角形的形状不能确定选依题意得，即⊥，因此是直角三角形考点突破题型透析考点三平面向量数量积的综合应用山西四校联考已知向量且⊥，则的最小值为从而，，最小值为考点突破题型透析考点三平面向量数量积的综合应用高考山东卷在中，已知，当时，的面积为由向量知识求出的值，代入三角形面积公式求解已知，由题意得所以的面积考点突破题型透析考点三平面向量数量积的综合应用用平面向量解决平面几何问题时，可以用基向量的方法或坐标法若便于建立直角坐标系，则建立平面直角坐标系，可以利用向量的坐标使几何问题代数化，根据向量的坐标运算较快得到结果解决向量与三角函数知识综合题的关键是把向量关系转化为向量的有关运算，再进步转化为实数运算即坐标运算......”。

7、“.....则实数的取值范围是正解依题意即，由此解得或注意到当与同向共线时因此，所求的实数的取值范围是或且素能提升应考展示失分警示•系列，，，此题易忽略时，有与同向向量数量积正负与向量夹角是钝角锐角不等价，如时，其，可为锐角，也可为，其，可为钝角，也可为此类题要考虑与共线情况错因警示素能提升应考展示应考迷津•展示考前必记向量夹角的概念向量垂直的判断方法平面向量数量积的定义几何意义及坐标运算用数量积求模的方法素能提升应考展示应考迷津•展示答题指导看到向量积运算，想到求两向量的模和夹角如考点看到图形中有互相垂直的线段，想到建系，用坐标处理如考点看到求向量模夹角，想到数量积运算如考点二看到向量垂直......”。

8、“.....两个向量和，作则向量与的夹角是范围向量与的夹角的范围是当时，与当时，与当时，与非零同向反向垂直教材梳理基础自测平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个向量和，它们的夹角为，把数量叫做和的数量积或内积，记作即，规定几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积非零教材梳理基础自测平面向量的数量积自测已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积教材梳理基础自测二平面向量数量积的坐标表示性质及运算律向量数量积的坐标运算设它们的夹角为，则⊥教材梳理基础自测二平面向量数量积的坐标表示性质及运算律数量积的性质设是单位向量，且与的夹角为，则当与同向时......”。

9、“.....且⊥，则与的夹角是考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算关键点平面图形中，合理选取基底是关键在平面图形中，把向量用基底表示，用基底的夹角和模计算数量积考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考天津卷已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，若，则考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算选根据条件把，分别用，和，表示，把，分别用，表示，然后根据向量数量积公式得方程组求解考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算即由解得考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算高考江苏卷如图，在平行四边形中，已知，则的值是考点突破题型透析考点平面向量数量积的运算以，为基底，将已知条件中的有关向量用，表示出来，列方程求解由，得因为......”。