1、“.....于是方法三如图，以为坐标原点，以，所在直线为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系图在中，于是,设平面的个法向量由⊥，⊥及可得，即，不妨取设点到平面的距离为，则互动探究已知空间中三点，则点到直线的距离为解析得，为中点设正方体的棱长为，则又，⊥平面，⊥是面与面所成的二面角的平面角在方法二延长交的延长线于点，连接，则为面与面的交线，由，的个法向量，⊥，⊥⇒，⇒令，得，又是面的个法向量，间直角坐标系，设正方体的边长为，则且有,设面小互动探究已知点，分别在正方体的棱，上，且则平面与平面所成的二面角的正切值等于图解析方法建立如图所示的空基本方法传统立体几何的综合推理法定义法垂面法三垂线定理法射影面积法,空间向量的坐标法建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大所以设二面角的大小为，易知是锐角，于是，故二面角的余弦值为规律方法求二面角......”。

2、“.....易知,是平面的个法向量设是平面的个法向量，则，即，取，则面，从而两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，不妨设图因为，所以，故,又，则故，即二面角的余弦值为方法二因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此⊥又⊥底从而⊥平面，所以⊥于是⊥平面，则⊥故是二面角的平面角不妨设因为，所以在中，易知方法如图，过作⊥于，连接由知，⊥底面，所以⊥底面，于是⊥又因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，则⊥的余弦值证明如图，因为四边形为矩形，图所以⊥同理⊥因为，所以⊥而∩，因此⊥底面由题设知，故⊥底面解例年湖南如图，四棱柱的所有棱长都相等，∩，∩，四边形和四边形均为矩形证明⊥底面若，求二面角，则所以记与平面所成角为，答案则所以考点面面所成角的计算图的余弦值为解析因为，所以与平面所成角和与平面所成角相等，设⊥平面，由等体积法得，即设题，那么创新的地方就是点的位置的选择是般的三等分点......”。

3、“.....因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好互动探究正方体中，与平面所成角的题，那么创新的地方就是点的位置的选择是般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好互动探究正方体中，与平面所成角的余弦值为解析因为，所以与平面所成角和与平面所成角相等，设⊥平面，由等体积法得，即设，则所以记与平面所成角为，答案则所以考点面面所成角的计算图例年湖南如图，四棱柱的所有棱长都相等，∩，∩，四边形和四边形均为矩形证明⊥底面若，求二面角的余弦值证明如图，因为四边形为矩形，图所以⊥同理⊥因为，所以⊥而∩，因此⊥底面由题设知，故⊥底面解方法如图，过作⊥于，连接由知，⊥底面，所以⊥底面，于是⊥又因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，则⊥从而⊥平面，所以⊥于是⊥平面，则⊥故是二面角的平面角不妨设因为，所以在中，易知又，则故，即二面角的余弦值为方法二因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形是菱形......”。

4、“.....从而两两垂直如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，不妨设图因为，所以，故易知,是平面的个法向量设是平面的个法向量，则，即，取，则所以设二面角的大小为，易知是锐角，于是，故二面角的余弦值为规律方法求二面角，大致有两种基本方法传统立体几何的综合推理法定义法垂面法三垂线定理法射影面积法,空间向量的坐标法建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小互动探究已知点，分别在正方体的棱，上，且则平面与平面所成的二面角的正切值等于图解析方法建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为，则且有,设面的个法向量，⊥，⊥⇒，⇒令，得，又是面的个法向量方法二延长交的延长线于点，连接，则为面与面的交线，由得，为中点设正方体的棱长为，则又，⊥平面，⊥是面与面所成的二面角的平面角在中，......”。

5、“.....且⊥平面求点到平面的距离图解方法如图，作⊥交延长线于点，连接图⊥平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面方法二延长交的延长线于点，连接，则为面与面的交线，由得，为中点设正方体的棱长为，则又，⊥平面，⊥是面与面所成的二面角的平面角在中，，故面与面所成的二面角的正切值等于答案考点空间距离的计算例如图，是所在平面外点，且⊥平面求点到平面的距离图解方法如图，作⊥交延长线于点，连接图⊥平面，⊥又∩，⊥平面又⊂平面，平面⊥平面，且平面∩平面过点作⊥于，由平面与平面垂直的性质定理，可知⊥平面于是即为点到平面的距离在中即点到平面的距离为方法二设到平面的距离为，其中在中，，在中，，于是方法三如图，以为坐标原点，以，所在直线为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系图在中，于是,设平面的个法向量由⊥，⊥及可得，即，不妨取设点到平面的距离为，则互动探究已知空间中三点，则点到直线的距离为解析点到直线的距离......”。

6、“.....在棱长为的正方体中分别是棱，的中点，点，分别在棱，上移动，且当时，证明直线平面是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角若存在，求出的值若不存在，说明理由图解方法几何法证明如图，连接，由是正方体，知当时，是的中点，且是的中点，图图如图，连接因为，分别是，的中点，所以所以而⊂平面，且⊄平面，故直线平面所以，且又，，所以四边形是平行四边形故从而，且在和中，因为所以所以四边形是等腰梯形同理可证四边形也是等腰梯形分别取的中点为，连接则⊥，⊥，而∩，故是面与面所成二面角的平面角若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则如图，连接则由知，四边形是平行四边形连接，因为，是，的中点，所以在中，由，得解得故存在，使面与面所成的二面角为直二面角方法二向量法图以为原点，射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知，得证明当时因为，所以，即而⊂平面，且⊄平面，故直线平面设平面的个法向量为......”。

7、“.....得，于是可取同理得平面的个法向量为若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则即解得故存在，使面与面所成的二面角为直二面角第讲空间中角与距离的计算空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述直线与直线直线与平面平面与平面的垂直平行关系能用向量方法解决直线与直线直线与平面平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用异面直线所成的角过空间任点分别作异面直线与的平行线与那么直线与所成的锐角或直角，叫做异面直线与所成的角，其范围是如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的切角中最小的角直线与平面所成的角从条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角从二面角的棱上任意点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线......”。

8、“.....即构造个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高直线与平面平行，那么直线上任点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离二面角若是平面的个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是解析向量与向量共线若直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则解析，平面的法向量为已知平面上的两个向量则平面的个法向量为解析显然与不平行，设平面的法向量为，则，令，得，如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为图考点线面所成角的计算例年福建在平面四边形中⊥，⊥将沿折起，使得平面⊥平面，如图求证⊥若为中点，求直线与平面所成角的正弦值图证明平面⊥平面，平面∩平面，⊂平面，⊥，⊥平面又⊂平面，⊥解如图，过点在平面内作⊥图由知，⊥平面，⊂平面，⊂平面，⊥，⊥设平面的法向量，以为坐标原点......”。

9、“.....轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图依题意，得则，，则，即，取，得平面的个法向量设直线与平面所成角为，则，，即直线与平面所成角的正弦值为规律方法求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法传统立体几何的综合推理法通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影的基本方法是过直线上点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影空间向量的坐标法建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，底面也是特殊的菱形，个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好互动探究正方体中......”。