1、以下这些语句存在若干问题，包括语法错误、标点使用不当、语句不通畅及信息不完整——“.....即，由得，又或故使不等式，成立的的取值范围是，，易错疑难辨析已知，故为第二象限的角辨析上述解法仅考虑到为第二象限的角时，却没有在此基础上进步探讨的范围，故导致结论错误正解，正解，又及，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版必修三角恒等变形第三章二倍角的三角函数第三章课堂典例讲练课时作业课前自主预习易错疑难辨析课前自主预习如图甲所示，已知弓弦的长度，弓箭的长度其中，⊥假设拉满弓时，箭头和箭尾到，的连线的距离相等如图乙所示，证明三角恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函数的转化，将边的三角函数式化为另边，或两边都等于多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思立，原式得证规律总结带有根号的化简问题，首先要去掉根号......”。

2、以下这些语句存在多处问题，具体涉及到语法误用、标点符号运用不当、句子表达不流畅以及信息表述不全面——“.....即三角函数中常用的解题技巧“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形半角公式求的值时，为避免讨论，般尽量采用半角正切公式的有理式，利用半角公式求，左边式成可以有以下解法规范解答由题意得，即，得而规律总结利用求的值思路分析要求的值，结合条件，可以联立，求得从而获解但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，右边，半角公式的应用已知解析原式证明左边三角函数式化为另边，或两边都等于多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类问题的关键是消去等式两端的差异化简求证技巧“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形，证明三角恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函数的转化......”。

3、以下这些语句在语言表达上出现了多方面的问题，包括语法错误、标点符号使用不规范、句子结构不够流畅，以及内容阐述不够详尽和全面——“.....原式得证规律总结带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题原式等价于即而式右边原式单角，若直接证明较复杂，可将要证的式子变形发现，所以只要证明式子即可规范解答求证思路分析在应用半角公式时，可适当进行变换两边式子比较复杂，且角出现倍角和解析原式利用公式化简与证明化简等于下列各式中，值为的是已知，则等于答案解等于下列各式中，值为的是已知，则等于答案解析原式利用公式化简与证明化简求证思路分析在应用半角公式时，可适当进行变换两边式子比较复杂，且角出现倍角和单角，若直接证明较复杂，可将要证的式子变形发现，所以只要证明式子即可规范解答......”。

4、以下这些语句该文档存在较明显的语言表达瑕疵，包括语法错误、标点符号使用不规范，句子结构不够顺畅，以及信息传达不充分，需要综合性的修订与完善——“.....原式得证规律总结带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形，证明三角恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函数的转化，将边的三角函数式化为另边，或两边都等于多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类问题的关键是消去等式两端的差异化简求证解析原式证明左边右边，半角公式的应用已知求的值思路分析要求的值，结合条件，可以联立，求得从而获解但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法规范解答由题意得，即，得而规律总结利用半角公式求的值时，为避免讨论，般尽量采用半角正切公式的有理式......”。

5、以下这些语句存在多种问题，包括语法错误、不规范的标点符号使用、句子结构不够清晰流畅，以及信息传达不够完整详尽——“.....左边式成立，原式得证规律总结带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形，证明三角恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函数的转化，将边的三角函数式化为另边，或两边都等于多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类问题的关键是消去等式两端的差异化简求证解析原式证明左边右边，半角公式的应用已知求的值思路分析要求的值，结合条件，可以联立，求得从而获解但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法规范解答由题意得，即，得而规律总结利用半角公式求的值时，为避免讨论......”。

6、以下这些语句存在多方面的问题亟需改进，具体而言：标点符号运用不当，句子结构条理性不足导致流畅度欠佳，存在语法误用情况，且在内容表述上缺乏完整性。——“.....利用半角公式求，的值时，要注意根号前面的符号由角所在象限相应的三角函数值的符号来确定已知，且，求的值分析本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对值符号，再由半角公式即得解析，由，有又，有，三角公式与三角函数的图像与性质的综合应用已知函数求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标当时，求函数的值域思路分析先求出，再利用倍角公式及降幂公式将化成的形式，进而研究函数的性质规范解答，所以的最小正周期为令，得故所求对称中心的坐标为即的值域为，规律总结解答此类综合题的关键是利用三角函数的和差倍半角公式化为的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究的相应性质，解答过程中定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误已知函数......”。

7、以下这些语句存在标点错误、句法不清、语法失误和内容缺失等问题，需改进——“.....成立的的取值范围解析的最大值为，最小值为最小正周期要使，只需，即，由得，又或故使不等式，成立的的取值范围是，，易错疑难辨析已知，故为第二象限的角辨析上述解法仅考虑到为第二象限的角时，却没有在此基础上进步探讨的范围，故导致结论错误正解，正解，又及，成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版必修三角恒等变形第三章二倍角的三角函数第三章课堂典例讲练课时作业课前自主预习易错疑难辨析课前自主预习如图甲所示，已知弓弦的长度，弓箭的长度其中，⊥假设拉满弓时，箭头和箭尾到，的连线的距离相等如图乙所示，设，你能用，表示的正切值，即的值吗与之间存在怎样的关系呢现在我们来学习二倍角与半角公式的知识二倍角的正弦余弦正切公式在和角公式中......”。

8、以下文段存在较多缺陷，具体而言：语法误用情况较多，标点符号使用不规范，影响文本断句理解；句子结构与表达缺乏流畅性，阅读体验受影响——“.....即，由此可得变形公式它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用半角公式在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果所在象限无法确定，则应保留根号前面的正负两个符号若，则的值为答案解析，的值为的值为答案解析原式若，则答案解析本题考查了余弦的二倍角公式因为，所以函数的最小正周期是，最大值是答案解析已知，则答案解析，课堂典例讲练利用倍角公式求值利用倍角公式求下列各式的值思路分析本题主要是倍角公式的逆用，关键是搞清公式的特征规范解答原式原式原式原式原式规律总结解答此类题目方面要注意角的倍数关系，另方面要注意函数名称的转化方法......”。

9、以下这些语句存在多方面瑕疵，具体表现在：语法结构错误频现，标点符号运用失当，句子表达欠流畅，以及信息阐述不够周全，影响了整体的可读性和准确性——“.....值为的是已知，则等于答案解析原式利用公式化简与证明化简求证思路分析在应用半角公式时，可适当进行变换两边式子比较复杂，且角出现倍角和单角，若直接证明较复杂，可将要证的式子变形发现，所以只要证明式子即可规范解答，原式解析原式利用公式化简与证明化简单角，若直接证明较复杂，可将要证的式子变形发现，所以只要证明式子即可规范解答左边式成立，原式得证规律总结带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题三角函数式化为另边，或两边都等于多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类问题的关键是消去等式两端的差异化简求证右边......”。