生成，而它的规则也简单的令人吃惊只不过这里的和都是复数。另外，还应该注意到，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周样，自然界也不存在真正的分形。从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计分形的性质自相似性分形具有粗糙和自相似的直观特点。个系统的自相似性是指种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理化学天文学生物学材料科学经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，中定义递归次数作为递归出口。创建完函不规则的，其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。传统的几何语言，如欧几里德几何语言，只能对那些平滑的直线或曲线进行测量和描述，对分形这种处处不连续或处处连续但又处处不光滑的图形是无法测量和描述的。说明。对分形的定义也可同样的处理。即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合是分形，是指它具有下面典型的性质具有精细结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂的细节。是检验，人们发现上述两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出个确切的定义，正如生物学中对生命也没有严格明确的定义样，人们通常是列出生命体的系列特性来加以似性的系统叫做分形。当放大或缩小的倍数不是个常数，而必须是的各种不同倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合，具有自仿射性的系统也叫做分形。分形的性质描述定义然而，经过理论和应用的说，若适当放大尺度，则任何个局部都可以与整体重合。按集合论的语言若个有界集合，包含个不相重叠的子集，当其放大或缩小倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集是分开集，换句话说，具有自相说法，实际上，非整数维比分数维的说法稍好些，因为豪斯道夫维数常常是无理数。部分与整体以种形式相似的形，称为分形。自相似集是研究得最多最透彻的类分形集。这类分形集的特征是局部与整体相似。换句话定义。考虑到对普遍的规则几何对象，所以，后来把分形定义成使不等式成立的几何对象。集合的拓扑维数总是非负整数点是维，线是维，面杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计是维，于是国内常常采用分数维这的集合，称为分形集。其中，为集合的维数或分维数，为其拓扑维数。般说来，不是整数，而是分数。这就是曼德尔布罗特最初的则几何形态。正如前文所述，具有复杂结构的形体与现象在大自然中无处不在，因而人们也说分形是大自然的几何学，分形是处处可见的。分形的数学定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义满足下式条件幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。分形的定义分形的研究对象分形理论所研究的对象主要是复杂的不规尾的，本意是不规则的破碎的分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变与英文的碎片分数及碎片具有相同的词根。在年代中期以前，曼德勃罗直使用英文词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之词是年夏天的个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词，对应的拉丁文动词是破碎产生无规碎片。此外由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。据曼德勃罗教授自己说，在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则支离破碎等意义，分形几何学是门以非规则几何形态为研究对象的几何学。图形仿真实现为我的研究课题。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计分形理论概述分形的提出分形，是以非整数维形式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于种思维上的理论存在。年，曼德勃罗编写的程序通用性能更强，算法简单，可通过改变递归次数来控制分形图的细腻程度，可以显示如何从初始生成元逐渐演化为复杂的分形图的整个过程，可以让使用者有更直观的认识，所以我选择基于递归算法的分形图编写的程序通用性能更强，算法简单，可通过改变递归次数来控制分形图的细腻程度，可以显示如何从初始生成元逐渐演化为复杂的分形图的整个过程，可以让使用者有更直观的认识，所以我选择基于递归算法的分形图形仿真实现为我的研究课题。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计分形理论概述分形的提出分形，是以非整数维形式充填空间的形态特征。分形可以说是来自于种思维上的理论存在。年，曼德勃罗在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则支离破碎等意义，分形几何学是门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。据曼德勃罗教授自己说，词是年夏天的个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词，对应的拉丁文动词是破碎产生无规碎片。此外与英文的碎片分数及碎片具有相同的词根。在年代中期以前，曼德勃罗直使用英文词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的，本意是不规则的破碎的分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。分形的定义分形的研究对象分形理论所研究的对象主要是复杂的不规则几何形态。正如前文所述，具有复杂结构的形体与现象在大自然中无处不在，因而人们也说分形是大自然的几何学，分形是处处可见的。分形的数学定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义满足下式条件的集合，称为分形集。其中，为集合的维数或分维数，为其拓扑维数。般说来，不是整数，而是分数。这就是曼德尔布罗特最初的定义。考虑到对普遍的规则几何对象，所以，后来把分形定义成使不等式成立的几何对象。集合的拓扑维数总是非负整数点是维，线是维，面杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计是维，于是国内常常采用分数维这说法，实际上，非整数维比分数维的说法稍好些，因为豪斯道夫维数常常是无理数。部分与整体以种形式相似的形，称为分形。自相似集是研究得最多最透彻的类分形集。这类分形集的特征是局部与整体相似。换句话说，若适当放大尺度，则任何个局部都可以与整体重合。按集合论的语言若个有界集合，包含个不相重叠的子集，当其放大或缩小倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集是分开集，换句话说，具有自相似性的系统叫做分形。当放大或缩小的倍数不是个常数，而必须是的各种不同倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合，具有自仿射性的系统也叫做分形。分形的性质描述定义然而，经过理论和应用的检验，人们发现上述两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出个确切的定义，正如生物学中对生命也没有严格明确的定义样，人们通常是列出生命体的系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合是分形，是指它具有下面典型的性质具有精细结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂的细节。是不规则的，其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。传统的几何语言，如欧几里德几何语言，只能对那些平滑的直线或曲线进行测量和描述，对分形这种处处不连续或处处连续但又处处不光滑的图形是无法测量和描述的。通常具有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义的般情况下，在种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数这是曼德勃罗于年为分形所下的定义。分形维数是度量分形集复杂程度的个量，它可以是整数也可以是分数或小数。而拓扑维数值恰恰是与组成分形的基本单元的欧氏维数值相同，那么分形维数大于它的拓扑维数，正好说明了分形用传统几何学来度量的话，它是个无限集，是个趋向无穷的集合。在大多数情形下，以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。分形的貌似复杂的解雇，其实是利用非常简单的规则反复迭代生成的。就像曼德尔布罗特集这个被称为数学中最复杂的集合对象的分形，在电脑中只需要二三十个语句的程序就可生成，而它的规则也简单的令人吃惊只不过这里的和都是复数。另外，还应该注意到，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周样，自然界也不存在真正的分形。从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计分形的性质自相似性分形具有粗糙和自相似的直观特点。个系统的自相似性是指种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大定倍