，时，斜率，直线范围时，要分，与，两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当，时，斜率，当时，斜率不存在当，时，斜率，直线的倾斜角的范围是已知实数，满足，当时，则的最大值为最小值为答案，，解析由得直线斜率，设直线的倾斜角为，则结合正切函数在，，上的图象可知，或本题可先作出函数的图象，把看成过点，和原点的直线的斜率进行求解如图，设点因为，满足，且，所以点，在线段上移动，并且，两点的坐标分别是，因为的几何意义是直线的斜率，且所以的最大值为，最小值为题型二求直线的方程例根据所给条件求直线的方程直线过点倾斜角的正弦值为直线过点且在两坐标轴上的截距之和为直线过点且到原点的距离为解由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则，从而，则故所求直线方程为即或由题设知截距不为，设直线方程为，又直线过点从而，解得或故所求直线方程为或当斜率不存在时，所求直线方程为当斜率存在时，设其为，则所求直线方程为，即由点线距离公式，得，解得故所求直线方程为综上知，所求直线方程为或思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程经过点且在两坐标轴上的截距相等经过点倾斜角等于直线的倾斜角的倍解设直线在，轴上的截距均为若，即过点，及的方程为，即若，则设的方程为，过点的方程为综上可知，直线的方程为或由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，又直线经过点因此所求直线方程为，即题型三直线方程的综合应用命题点与基本不等式相结合求最值问题例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程解方法设直线方程为，点，代入得，得，从而，当且仅当时等号成立，这时，从而所求直线方程为所以的面积的最小值为，此时直线的方程为方法二依题意知，直线的斜率存在且则直线的方程为，且有故已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率为答案解析直线的斜率为，则直线的倾斜角为，所求直线的倾斜角为若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是答案，，解析当，且，三点共线，则的最小值为答案解析根据确定直线的方程为，又，在该直线上，故，所以又，故根据基本不等式，从而舍去或，故，当且仅当时取等号即的最小值为设直线，根据下列条件分别确定的值直线在轴上的截距为直线的斜率为解在轴上的截距为，，即，又，令，得，由题意知解得由题意知，且，解得已知点，求过点且与原点的距离为的直线的方程求过点且与原点的距离最大的直线的方程，最大距离是多少是否存在过点且与原点的距离为的直线若存为，将题中的点坐标改为其他条件不变，求直线倾斜角的范围解如图直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由图象知的倾斜角的范围为思维升华直线倾斜角的范围是而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与，两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当，时，斜率，当时，斜率不存在当，时，斜率，直线的倾斜角的范围是已知实数，满足，当时，则的最大值为最小值为答案，，解析若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是答案，，解析当，且，三点共线，则的最小值为答案解析故已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率为答案解析直线的斜率为，则直线的倾斜角为，所求直线的倾斜角为的面积的最小值为，此时直线的方程为方法二依题意知，直线的斜率存在且则直线的方程为，且有解方法设直线方程为，点，代入得，得，从而，当且仅当时等号成立，这时，从而所求直线方程为所以，即题型三直线方程的综合应用命题点与基本不等式相结合求最值问题例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程可知，直线的方程为或由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，又直线经过点因此所求直线方程为倍解设直线在，轴上的截距均为若，即过点，及的方程为，即若，则设的方程为，过点的方程为综上，应注意分类讨论，判断截距是否为零若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程经过点且在两坐标轴上的截距相等经过点倾斜角等于直线的倾斜角的时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式在时，设其为，则所求直线方程为，即由点线距离公式，得，解得故所求直线方程为综上知，所求直线方程为或思维升华在求直线方程由题设知截距不为，设直线方程为，又直线过点从而，解得或故所求直线方程为或当斜率不存在时，所求直线方程为当斜率存且到原点的距离为解由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则，从而，则故所求直线方程为即或且所以的最大值为，最小值为题型二求直线的方程例根据所给条件求直线的方程直线过点倾斜角的正弦值为直线过点且在两坐标轴上的截距之和为直线过点和原点的直线的斜率进行求解如图，设点因为，满足，且，所以点，在线段上移动，并且，两点的坐标分别是，因为的几何意义是直线的斜率设直线的倾斜角为，则结合正切函数在，，上的图象可知，或本题可先作出函数的图象，把看成过点，的倾斜角的范围是已知实数，满足，当时，则的最大值为最小值为答案，，解析由得直线斜率范围时，要分，与，两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当，时，斜率，当时，斜率不存在当在，东省韶关市始兴县墨江中学九年级上学期模拟考试二数学试卷如图，条公路的转弯处是段圆弧用直尺和圆规作出弧所在圆的圆心要求保留作图痕迹，不写作法若弧的中点到弦的距离为求弧所在圆的半径答案见解析画图解析试题解析如图，在圆弧上任取点，分别作的中垂线于交，则点即为所求如图，设圆弧所在圆的半径为，则⊥在中，由勾股定理得，考点垂径定理勾股定理试题来源届广东省深圳市所名校九年级下学期联考数学试卷如图，二次函数的图象与轴交于，和，两点，交轴于点点，而，，，解得当，则，而，而，，化简得作⊥轴于，如图，当时，则，而，即而，相似三角形面积的比等于相似比的平方，，而同角的余角相等，即在中≌，则，由得到，则，根据三角函数定义得到，，则，然后分别解关于的方程即可得到的值论当时，则，由得，所以，利用三角函数得到，，所以当，然后证明，利用相似性质得，而，于是可得先做辅助线，作⊥轴于，如图，分类讨证明≌，四边形是菱形证明如下如下图，不动，将绕点旋转到时，试判断四边形是什么四边形并证明你的结论答案证明见解析四边形是菱形，证明见解析解析试题解析试题来源届湖南省株洲市天元区九年级模拟考试数学试卷如上图，在和中，与交于，与分别交于求证⊥于点，将沿直线翻折，点落在点处，代入抛物线的解析式，点不在抛物线上考点二次函数综合题于点，由点的坐标，可求出的值，进而求得的值，然后可求得的值，进而求出的值，得到点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可判断点是否在抛物线上过点作系数法可解得由得设二次函数解析式为，把，代入得，利用待定系数法解得二次函数解析式为过点作⊥答案点不在抛物线上，理由略解析根据四边形是矩形可知，根据旋转的性质，得，把，代入中，利用待定直线与轴交于点与轴交于点，抛物线的图象经过点，求抛物线的函数解析式将沿直线翻折，点落在点处，请你判断点是否在抛物线上，说明理由省株洲市天元区九年级模拟考试数学试卷如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕原点顺时针旋转，得到矩形解答下列问题求出直线的函数解析式人，反对的人数是人，补图如下根据题意得人，答该校名学生中对光盘行动持赞成态度的人数有人考点条形统计图用样本估计总体扇形统计图试题来源届湖南省人，反对的人数是人，补图如下根据题意得人，答该校名学生中对光盘行动持赞成态度的人数有人考点条形统计图用样本估计总体扇形统计图试题来源届湖南省株洲市天元区九年级模拟考试数学试卷如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕原点顺时针旋转，得到矩形解答下列问题求出直线的函数解析式直线与轴交于点与轴交于点，抛物线的图象经过点，求抛物线的函数解析式将沿直线翻折，点落在点处，请你判断点是否在抛物线上，说明理由答案点不在抛物线上，理由略解析根据四边形是矩形可知，根据旋转的性质，得，把，代入中，利用待定系数法可解得由得设二次函数解析式为，把，代入得，利用待定系，时，斜率，直线范围时，要分，与，两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当，时，斜率，当时，斜率不存在当，时，斜率，直线的倾斜角的范围是已知实数，满足，当时，则的最大值为最小值为答案，，解析由得直线斜率，设直线的倾斜角为，则结合正切函数在，，上的图象可知，或本题可先作出函数的图象，把看成过点，和原点的直线的斜率进行求解如图，设点因为，满足，且，所以点，在线段上移动，并且，两点的坐标分别是，因为的几何意义是直线的斜率，且所以的最大值为，最小值为题型二求直线的方程例根据所给条件求直线的方程直线过点倾斜角的正弦值为直线过点且在两坐标轴上的截距之和为直线过点且到原点的距离为解由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则，从而，则故所求直线方程为即或由题设知截距不为，设直线方程为，又直线过点从而，解得或故所求直线方程为或当斜率不存在时，所求直线方程为当斜率存在时，设其为，则所求直线方程为，即由点线距离公式，得，解得故所求直线方程为综上知，所求直线方程为或思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程经过点且在两坐标轴上的截距相等经过点倾斜角等于直线的倾斜角的倍解设直线在，轴上的截距均为若，即过点，及的方程为，即若，则设的方程为，过点的方程为综上可知，直线的方程为或由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，又直线经过点因此所求直线方程为，即题型三直线方程的综合应用命题点与基本不等式相结合求最值问题例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程解方法设直线方程为，点，代入得，得，从而，当且仅当时等号成立，这时，从而所求直线方程为所以的面积的最小值为，此时直线的方程为方法二依题意知，直线的斜率存在且则直线的方程为，且有故已知直线的斜率为，将直线绕点顺时针旋转所得的直线的斜率为答案解析直线的斜率为，则直线的倾斜角为，所求直线的倾斜角为若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是答案，，解析当，且，三点共线，则的最小值为答案解析根据确定直线的方程为，又，在该直线上，故，所以又，故根据基本不等式，从而舍去或，故，当且仅当时取等号即的最小值为设直线，根据下列条件分别确定的值直线在轴上的截距为直线的斜率为解在轴上的截距为，，即，又，令，得，由题意知解得由题意知，且，解得已知点，求过点且与原点的距离为的直线的方程求过点且与原点的距离最大的直线的方程，最大距离是多少是否存在过点且与原点的距离为的直线若存