定理圆盘定理设，则表示以为中心，以半径全体特征值之积，即的迹数等于特征值之和，即定理设为对称矩阵，其特征值，则对任意，,于的特征向量。的特征向量构成的组基底，则经相似变换可化为对角阵，即有可逆阵，使定理，为的特征值，则的行列式值等于全相同若是的特征向量，则便为的特征向量。定理设具有完全的特征向量系，即存在个线性无关其中为的特征值，的各列为相应第五章矩阵特征问题的求解引言定义设矩阵,，若有可逆阵，使则称与相似。定理若矩阵,且相似，则与的特征值完记，对作系列旋转相似变换其中仍是对称矩阵，的形式仍为正交矩阵。称矩阵为旋转矩阵雅克比方法设矩阵是对称矩阵，旋转法预备知识若是上或下三角阵或对角阵，则的主对角元素即是的特征值。若矩阵满足，则称为正交矩阵。显然，且,是正交阵时，其乘积即为正交阵，为上三角阵将个线性无关向量变换为个两两正交向量的方法称为斯密特正交化方法。斯密特正交化过程将可逆阵分解为正交阵与上三角阵的乘积。对称矩阵的雅克比,,为正交矩阵，是上三角阵。对维向量空间，设为上个线性无关的向量，类似有,即与,正交，将其单位化为于是向量组,,构成上组标准正交基，且,其中，则为单位长度的向量，再令可以验证,，即与正交。若令则收敛速度取决于的程度，收敛快，收敛慢，且当充分大时为相应于的特征向量的近似值。当时若，则主特征值及相应特征向量的求法同,为的个特征值且满足对任取初始向量，对乘幂公式确定的迭代序列，有下述结论当时，对,的个圆盘组成的并集连通的与其余的每个特征值必属于下述个圆盘之中，个圆盘不连接，则内恰包含个的特征值。乘幂法与反幂法乘幂法定理设有完全特征向量系，若,,定理圆盘定理设，则表示以为中心，以半径为的复平面上的个圆盘。如果矩阵的定理圆盘定理设，则表示以为中心，以半径为的复平面上的个圆盘。如果矩阵的个圆盘组成的并集连通的与其余的每个特征值必属于下述个圆盘之中，个圆盘不连接，则内恰包含个的特征值。乘幂法与反幂法乘幂法定理设有完全特征向量系，若,为的个特征值且满足对任取初始向量，对乘幂公式确定的迭代序列，有下述结论当时，对,收敛速度取决于的程度，收敛快，收敛慢，且当充分大时为相应于的特征向量的近似值。当时若，则主特征值及相应特征向量的求法同，则为单位长度的向量，再令可以验证,，即与正交。若令则即与,正交，将其单位化为于是向量组,,构成上组标准正交基，且,其中,,为正交矩阵，是上三角阵。对维向量空间，设为上个线性无关的向量，类似有,,即为正交阵，为上三角阵将个线性无关向量变换为个两两正交向量的方法称为斯密特正交化方法。斯密特正交化过程将可逆阵分解为正交阵与上三角阵的乘积。对称矩阵的雅克比旋转法预备知识若是上或下三角阵或对角阵，则的主对角元素即是的特征值。若矩阵满足，则称为正交矩阵。显然，且,是正交阵时，其乘积仍为正交矩阵。称矩阵为旋转矩阵雅克比方法设矩阵是对称矩阵，记，对作系列旋转相似变换其中仍是对称矩阵，的形式第五章矩阵特征问题的求解引言定义设矩阵,，若有可逆阵，使则称与相似。定理若矩阵,且相似，则与的特征值完全相同若是的特征向量，则便为的特征向量。定理设具有完全的特征向量系，即存在个线性无关其中为的特征值，的各列为相应于的特征向量。的特征向量构成的组基底，则经相似变换可化为对角阵，即有可逆阵，使定理，为的特征值，则的行列式值等于全体特征值之积，即的迹数等于特征值之和，即定理设为对称矩阵，其特征值，则对任意，,定理圆盘定理设，则表示以为中心，以半径为的复平面上的个圆盘。如果矩阵的个圆盘组成的并集连通的与其余的每个特征值必属于下述个圆盘之中，个圆盘不连接，则内恰包含个的特征值。乘幂法与反幂法乘幂法定理设有完全特征向量系，若,为的个特征值且满足对任取初始向量，对乘幂公式确定的迭代序列，有下述结论当时，对,收敛速度取决于的程度，收敛快，收敛慢，且当充分大时为相应于的特征向量的近似值。当时若，则主特征值及相应特征向量的求法同的个圆盘组成的并集连通的与其余的每个特征值必属于下述个圆盘之中，个圆盘不连接，则内恰包含个的特征值。乘幂法与反幂法乘幂法定理设有完全特征向量系，若,,收敛速度取决于的程度，收敛快，收敛慢，且当充分大时为相应于的特征向量的近似值。当时若，则主特征值及相应特征向量的求法同即与,正交，将其单位化为于是向量组,,构成上组标准正交基，且,其中,,旋转法预备知识若是上或下三角阵或对角阵，则的主对角元素即是的特征值。若矩阵满足，则称为正交矩阵。显然，且,是正交阵时，其乘积记，对作系列旋转相似变换其中仍是对称矩阵，的形式全相同若是的特征向量，则便为的特征向量。定理设具有完全的特征向量系，即存在个线性无关其中为的特征值，的各列为相应全体特征值之积，即的迹数等于特征值之和，即定理设为对称矩阵，其特征值，则对任意，,