1、“.....则,−−−−−，从而−与的单射性矛盾同态核同态核,，为给定整数模加群的自同态−到的满同态,群的同态与同构群同态只要求保持同构定义群映射若∀,则称为到的同态映射，简称同态满同态，单同态，自同态，同构，自同构群的同态实例整数加群的自同态,∀,−,是的唯阶子群指数为的子群置换群子群,正规子群非正规子群,群的同态与,......”。

2、“.....记为⊴判定定理是的正规子群∀,−∀,题例分析置换群子群为偶数阶群，则中必存在阶元证若，则由于,大于阶的元素成对出现，总数有偶数个中阶和阶元也有偶数个由于阶元只有单位元，因此阶元有奇数个，从而命题得证分析。证中定含有阶数大于的元素,否则由知为交换群矛盾。考虑,则否则是幂等元从而是单位元，阶为矛盾,显然。分析幂运算规则题例分析若群，若,则为群。证,,分析幂运算规则题例分析设为非群，证明中存在非单位元......”。

3、“.....存在整数,使得题例分析设为证明由于中只有,两个元素，故分和两种情况讨论。若，则结合律集合及元素的基本性质群的给定子集构成子群群的给定子群是正规的是群到的同态映射循环群，置换群结合律,同态基本定理推论同态基本定理若为的同态像，则≅整除于小结集合和二元运算构成半群,独异点,群群整数加群的自同态交换性，循环性等同态基本定理为的正规子群，则是的同态像若为的同态像，则≅例到的满同态存在到的同构证假设存在同构,则,−−−−−......”。

4、“.....整除，同构条件下同态映射的性质同态保持子代数的性质⇒⊴,为满同态，⊴同态保持元素性质的应用证明不存在同构反证法例证明不若将群看成代数系统，则同态是否满足，−−同态映射的性质同态保持元素的性质−−将生成元映到生成元满同态时−到的满同态,群的同态与同构群同态只要求保持乘法运算,即若∀,−到的满同态,群的同态与同构群同态只要求保持乘法运算,即若∀,若将群看成代数系统，则同态是否满足......”。

5、“.....同构条件下同态映射的性质同态保持子代数的性质⇒⊴,为满同态，⊴同态保持元素性质的应用证明不存在同构反证法例证明不存在到的同构证假设存在同构,则,−−−−−，从而−与的单射性矛盾同态核同态核,整数加群的自同态交换性，循环性等同态基本定理为的正规子群，则是的同态像若为的同态像，则≅例到的满同态,同态基本定理推论同态基本定理若为的同态像......”。

6、“.....独异点,群群集合及元素的基本性质群的给定子集构成子群群的给定子群是正规的是群到的同态映射循环群，置换群结合律证明由于中只有,两个元素，故分和两种情况讨论。若，则结合律题例分析若，则结合律,存在整数,使得题例分析设为群，若,则为群。证,,分析幂运算规则题例分析设为非群，证明中存在非单位元,且。证中定含有阶数大于的元素,否则由知为交换群矛盾。考虑,则否则是幂等元从而是单位元，阶为矛盾,显然......”。

7、“.....则中必存在阶元证若，则由于,大于阶的元素成对出现，总数有偶数个中阶和阶元也有偶数个由于阶元只有单位元，因此阶元有奇数个，从而命题得证分析,题例分析置换群子群,,正规子群正规子群且∀，记为⊴判定定理是的正规子群∀,−∀,∀,−,是的唯阶子群指数为的子群置换群子群,正规子群非正规子群,群的同态与同构定义群映射若∀,则称为到的同态映射，简称同态满同态，单同态，自同态，同构......”。

8、“.....为给定整数模加群的自同态−到的满同态,群的同态与同构群同态只要求保持乘法运算,即若∀,若将群看成代数系统，则同态是否满足，−−同态映射的性质同态保持元素的性质−−将生成元映到生成元满同态时整除，同构条件下同态映射的性质同态保持子代数的性质⇒⊴,为满同态，⊴同态保持元素性质的应用证明不存在同构反证法例证明不存在到的同构证假设存在同构,则,−−−−−，从而−与的单射性矛盾同态核同态核......”。

9、“.....则同态是否满足，−−同态映射的性质同态保持元素的性质−−将生成元映到生成元满同态时存在到的同构证假设存在同构,则,−−−−−，从而−与的单射性矛盾同态核同态核,,同态基本定理推论同态基本定理若为的同态像，则≅整除于小结集合和二元运算构成半群,独异点,群群证明由于中只有,两个元素，故分和两种情况讨论。若，则结合律群，若,则为群。证,,分析幂运算规则题例分析设为非群，证明中存在非单位元,且为偶数阶群......”。