1、“.....他的上等马与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛。这样虽然第场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜负，田忌赢了齐威王铜千斤。二材料初步分析齐威王将自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次都先出马，才给了田忌可趁之机。公平的竞赛规则应该是这样的每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛出马的决策应该是同时做出的。倘若这样比赛的话结果会是如何呢我们用学过的概率论的知识来分析下这个问题。三问题探究问题若只进行场比赛，也就是齐威王和田忌都只从自己的三匹马中随机选择匹进行比赛。那么齐威王获胜的机会怎样当然，倘若齐威王直只出上等马，那么田忌永远都没有机会。所以这里“随机”很重要。为了研究方便，我们必须先给出几个设定设定齐王和田忌选择哪匹马是随机的，事先谁也不知道到底会出哪匹马设定上中下三种马分别用字母表示设定齐王每场赢得分，输得分......”。

2、“.....下午时到达山顶并留宿次日早时沿同条路径下山，下午时回到旅店。乙说，甲必在两天续函数的基本性质,必存在,使,即因为•,所以评注和思考建模的关键假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和,证明方法将椅子旋转，对角线和互换。由，知,令,则和由,的连续性知为连续函数,据连,是连续函数对任意，•且证明存在，使模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出种简单粗糙的两个距离椅脚与地面距离为零正方形绕点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,是连续函数对任意,,至少个为数学问题已知置利用正方形椅脚连线的对称性用对角线与轴的夹角表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离四只脚,两脚与地面距离之和,两脚与地面距离之和样长，椅脚与地面点接触......”。

3、“.....可视为数学上的连续曲面•地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位数学式子二元次方程•求解得到数学解答•回答原问题船速每小时千米小时。数学建模示例问题椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常三只脚着地放稳四只脚着地•四条腿提供依据“假设”“建模”“求解”“应用”航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设船速水速为常数•用符号表示有关量,表示船速和水速•用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以时间列出水速，列出方程答船速每小时千米小时甲乙两地相距千米，船从甲到乙顺水航行需小时，从乙到甲逆水航行需小时,问船速水速各若干解得“实际问题”目的为预测到达时间，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的个数学结构。建立数学模型的全过程包括表述求解解释检验等数学模型数学建模你碰到过的数学模型“航行问题”用表示船速，表示赛进行多次......”。

4、“.....数学模型和数学建模对于个现实对象，为了个特定目的问题三还是进行三场比赛，还是三局两胜。但是要求这三场比赛要分别出不同的马。也就是上中下三匹马都要而且只能出场场。这样的话，齐威王获胜的概率有多大若这样的比齐威王获胜的概率有多大由于三场比赛之间相互，每场比赛依上研究结果可知齐威王的获胜概率为故三场比赛下来齐威王获胜的场数服从二项分布所以齐威王获胜的概率为列出齐王的得分的分布列齐威王得分的数学期望倘若这样的比赛进行场，齐威王大概可以获得分。问题二倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐王每场赢得分，输得分。根据两人出马的各种情形我们可以列出下表表中数据是齐威王的得分齐威王出的马田忌出的马上述种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是故齐威王获胜的概率为远都没有机会。所以这里“随机”很重要。为了研究方便，我们必须先给出几个设定设定齐王和田忌选择哪匹马是随机的......”。

5、“.....所以这里“随机”很重要。为了研究方便，我们必须先给出几个设定设定齐王和田忌选择哪匹马是随机的，事先谁也不知道到底会出哪匹马设定上中下三种马分别用字母表示设定齐王每场赢得分，输得分。根据两人出马的各种情形我们可以列出下表表中数据是齐威王的得分齐威王出的马田忌出的马上述种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是故齐威王获胜的概率为列出齐王的得分的分布列齐威王得分的数学期望倘若这样的比赛进行场，齐威王大概可以获得分。问题二倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐威王获胜的概率有多大由于三场比赛之间相互，每场比赛依上研究结果可知齐威王的获胜概率为故三场比赛下来齐威王获胜的场数服从二项分布所以齐威王获胜的概率为问题三还是进行三场比赛，还是三局两胜。但是要求这三场比赛要分别出不同的马。也就是上中下三匹马都要而且只能出场场。这样的话......”。

6、“.....齐威王平均选择是正好与军事家孙膑的选择如出辙。数学模型和数学建模对于个现实对象，为了个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的个数学结构。建立数学模型的全过程包括表述求解解释检验等数学模型数学建模你碰到过的数学模型“航行问题”用表示船速，表示水速，列出方程答船速每小时千米小时甲乙两地相距千米，船从甲到乙顺水航行需小时，从乙到甲逆水航行需小时,问船速水速各若干解得“实际问题”目的为预测到达时间提供依据“假设”“建模”“求解”“应用”航行问题建立数学模型的基本步骤•作出简化假设船速水速为常数•用符号表示有关量,表示船速和水速•用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以时间列出数学式子二元次方程•求解得到数学解答•回答原问题船速每小时千米小时。数学建模示例问题椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常三只脚着地放稳四只脚着地•四条腿样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形•地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面•地面相对平坦......”。

7、“.....模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来•椅子位置利用正方形椅脚连线的对称性用对角线与轴的夹角表示椅子位置•四只脚着地距离是的函数四个距离四只脚,两脚与地面距离之和,两脚与地面距离之和两个距离椅脚与地面距离为零正方形绕点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,是连续函数对任意,,至少个为数学问题已知,是连续函数对任意，•且证明存在，使模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出种简单粗糙的证明方法将椅子旋转，对角线和互换。由，知,令,则和由,的连续性知为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在,使,即因为•,所以评注和思考建模的关键假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和,的确定巧分蛋糕试回答能否将个不规则的蛋糕平均分成两部分思考练习题上山问题甲早时从山下旅店出发沿条路径上山，下午时到达山顶并留宿次日早时沿同条路径下山......”。

8、“.....乙说，甲必在两天中的同时刻经过路径中的同地点。为什么数学模型与数学建模“田忌赛马”的故事展示材料战国时代，齐王与大将田忌赛马。规则如下双方各出三匹马，对共比赛三场，每场的输者要给赢者铜千斤。齐王的三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上中下三等。齐王的上中下三匹马分别比田忌的上中下三匹马略强些。每次比赛用同等级的马对抗局，田忌就要输局，输掉三千斤铜。后来，田忌手下的谋士著名的军事家孙膑给田忌出了个主意让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛，他的上等马与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛。这样虽然第场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜负，田忌赢了齐威王铜千斤。二材料初步分析齐威王将自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次都先出马，才给了田忌可趁之机。公平的竞赛规则应该是这样的每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛出马的决策应该是同时做出的。倘若这样比赛的话结果会是如何呢我们用学过的概率论的知识来分析下这个问题......”。

9、“.....也就是齐威王和田忌都只从自己的三匹马中随机选择匹进行比赛。那么齐威王获胜的机会怎样当然，倘若齐威王直只出上等马，那么田忌永远都没有机会。所以这里“随机”很重要。为了研究方便，我们必须先给出几个设定设定齐王和田忌选择哪匹马是随机的，事先谁也不知道到底会出哪匹马设定上中下三种马分别用字母表示设定齐王每场赢得分，输得分。根据两人出马的各种情形我们可以列出下表表中数据是齐威王的得分齐威王出的马田忌出的马上述种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是故齐威王获胜的概率为列出齐王的得分的分布列齐威王得分的数学期望倘若这样的比赛进行场，齐威王大概可以获得分。问题二倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐威王获胜的概率有多大由于三场比赛之间相互，每场比赛依上研究结果可知齐威王的获胜概率为故三场比赛下来齐威王获胜的场数服从二项分布所以齐威王获胜的概率为问题三还是进行三场比赛，还是三局两胜......”。