1、“.....所以所以与夹角的正弦值为能力提升如图，在四边形中，⊥，⊥若则解析选因为⊥，所以在方向上的投影为，又⊥，所以在方向上的投影为所以在中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则解析选设，为单位向量，非零向量若，的夹角为，则的最大值等于解析根据题意，得因为，所以，又因为于是，由已知可得又，所以，即的长为答案如图，在中，为中线上的个动点，如果，求的最值解因为，所以设⇒所以所以当时取得最小值当或时取得最大值选做题已知非零向量，设其夹角为，是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由解假设存在满足条件的，由可得，即⇒⇒已知向量为非零向量，则，上式同除以得到，由得到，解得或，又知则或，因为，所以，，满足题意因此，当，，时，使得从力做的功到向量的数量积......”。

2、“.....需要确定哪几个量向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角定是锐角吗若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角定是钝角吗例题导读例通过本例学习，学会计算两个向量的数量积试试教材习题组你会吗例通过本例学习，学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题试试教材习题组你会吗例通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系试试教材习题组你会吗例通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角试试教材习题组你会吗力做的功个物体在的作用下产生位移，那么力所做的功为，其中是与的夹角两个向量的夹角定义已知两个非零向量和，如图，作则叫作向量与的夹角范围垂直当时，称向量与互相垂直，记作⊥规定零向量可与任向量垂直特例当时，与同向当时，与反向向量的数量积定义已知两个向量和，它们的夹角为，把叫作与的数量积或内积......”。

3、“.....即特别规定零向量与任向量的数量积均为射影叫作向量在方向上向量在方向上的射影几何意义与的数量积等于的长度与在方向上射影的乘积，或的长度与在方向上射影的乘积物理意义力对物体做功，就是力与其作用下物体的位移的数量积数量积的性质若是单位向量，则若⊥，则反之，若，则⊥通常记作⊥⇔，为非零向量同向⇔反向⇔特别地或对任意两个向量有当且仅当时等号成立向量数量积的运算定律已知向量与实数，则交换律结合律分配律乘法公式成立等等判断正误正确的打，错误的打“”向量的数量积的运算结果是个向量若，则或若，则定有解析错误向量的数量积是个数错误向量与可能垂直错误向量与向量，可能垂直，所以与不定相等答案已知，则向量在方向上的投影为解析选向量在方向上的投影为，故选已知则解析答案已知中，则解析画图可知向量与的夹角为角的补角，故答案对数量积概念的三点说明从定义上看两向量的数量积是个数量，而不是向量......”。

4、“.....其决定因素为两向量的夹角从运算上看两向量，的数量积称作内积，写成，其中“”是种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握理解数量积的几何意义要关注的三点在方向上的投影与在方向上的投影是不同的在方向上的投影为是与的夹角，也可以写成投影是个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零数量积性质的作用性质是利用向量法研究垂直问题的依据性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化性质可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用性质反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的个不等式，用它可研究几何问题中的些不等关系，证明不等式或用来求有关函数的最值但要特别注意该不等式中成立的条件向量数量积与实数积运算律的比较实数向量⇒⇒满足乘法结合律不满足乘法结合律向量数量积的运算已知当，⊥......”。

5、“.....分别求与的数量积已知内接于以为圆心，为半径的圆，且，求的值链接教材例解，若与同向，则若与反向，则，所以当⊥时，所以当与的夹角为时由，得，两边平方得，所以两边平方得，所以，所以方法归纳求向量数量积的方法及注意事项方法分别求出向量与向量的模及向量与向量夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解注意事项要牢记数量积的运算公式要注意确定两个向量的夹角对于平行向量要注意两向量是同向还是反向求形如的数量积，可以先展开，再求在中则等于若等边的边长为，平面内点满足，则解析由可得，在中在中式同除以得到，由得到，解得或，又知则或，因为，所以，，满足题意因此，当，，时，使得从力做的功到向量的数量积，问题导航计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别若两个向量的数选由题意知，即......”。

6、“.....故，则已知同平面上的向量两两所成的角相等，并且，求解选，如等平面向量与的夹角为，则若向量，满足，⊥，⊥求模问题般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化些常见的等式应熟记，而⊥，有，所以，又，得，而⊥，所以，即方法归纳求向量的模的常见思路及方法因为⊥，所以，所以，所以，所以答案本例中，加上条件⊥，其他不变，求解由已知可得向量与的夹角为且，所以，故，整理得，解得或舍去因为，所以设向量满足，⊥则链接教材习题组解析因为，所以，所以，又因为，则答案向量模的问题已知向量与的夹角为，且则，在中，又等边中则解析由可得，在中的数量积，可以先展开，再求在中则等于若等边的边长为，平面内点满足向量与向量的模及向量与向量夹角的余弦值......”。

7、“.....所以，所以方法归纳求向量数量积的方法及注意事项方法分别求出与的夹角为时由，得，两边平方得，所以若与同向，则若与反向，则，所以当⊥时，所以当，当，⊥，与的夹角为时，分别求与的数量积已知内接于以为圆心，为半径的圆，且，求的值链接教材例解，若，当，⊥，与的夹角为时，分别求与的数量积已知内接于以为圆心，为半径的圆，且，求的值链接教材例解，若与同向，则若与反向，则，所以当⊥时，所以当与的夹角为时由，得，两边平方得，所以两边平方得，所以，所以方法归纳求向量数量积的方法及注意事项方法分别求出向量与向量的模及向量与向量夹角的余弦值，然后根据数量积的定义求解注意事项要牢记数量积的运算公式要注意确定两个向量的夹角对于平行向量要注意两向量是同向还是反向求形如的数量积，可以先展开，再求在中则等于若等边的边长为，平面内点满足......”。

8、“.....在中在中，又等边中，则答案向量模的问题已知向量与的夹角为，且则设向量满足，⊥则链接教材习题组解析因为，所以，所以，又因为向量与的夹角为且，所以，故，整理得，解得或舍去因为，所以因为⊥，所以，所以，所以，所以答案本例中，加上条件⊥，其他不变，求解由已知可得，而⊥，有，所以，又，得，而⊥，所以，即方法归纳求向量的模的常见思路及方法求模问题般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化些常见的等式应熟记，如等平面向量与的夹角为，则若向量，满足，⊥，⊥，则已知同平面上的向量两两所成的角相等，并且，求解选选由题意知，即，将得所以，故当向量共线且同向时，所成的角均为，所以当向量不共线时，易知皆为非零向量设所成的角均为，则，即，所以同理，由，故综上所述......”。

9、“.....且，向量与的夹角为，则已知向量，满足与垂直，与垂直，则与的夹角为已知非零向量，满足，且已知向量，满足，且则与的夹角为解析设，的夹角为，由，得，又所以，所以，又因为，所以答案，学生用书单独成册基础达标设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则不与垂直中，是真命题的有解析选因为是与共线的向量是与共线的向量，所以与不定相等，排除因为，所以与垂直，所以排除，故选已知向量，满足且，则与的夹角为解析选因为，所以，即又因为所以已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于解析选因为，又与的夹角为，所以即在中，是边上的高，若，则等于解析选由题意知，即，所以，所以，故选若向量均为单位向量，且⊥，则的最小值为解析选因为均为单位向量，且⊥，所以，所以，所以已知单位向量，的夹角为，则解析答案在等腰中，则向量在向量上的投影等于解析因为等腰中，所以......”。