为是上的点，所以，所以，即如图，在中，的中点为，的中点为，的中点为，若，则解析选由题意可得因为由解方程求得再由可得如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且若，，则的值为解析如图，以，所在射线为邻边，为对角线作平行四边形，则在中，因为，，，所以故即所以答案设点是面积为的内部点，且有，则的面积为解析如图，以，为邻边作▱，连接，则，结合条件知设交于，则，所以，故为的中点，所以答案已知中，延长到，使，是将分成∶两部分的个分点，和交于点，设，用，表示向量若，求实数的值解因为为的中点，所以，因为，所以因为与共线，所以存在实数，使得，即，即因为，不共线，所以解得选做题如图所示，，点在由射线线段及线段的延长线围成的阴影区域内不含边界运动，且求的取值范围当时，求的取值范围解因为，以和的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知为此平行四边形的对角线，当长度增大且靠近时，趋向负无穷大，所以的取值范围是，如图所示，当时，在的反向延长线取点，使，过作，分别交和的延长线于点则要使点落在指定区域内，则点应落在上，当点在点处时，当点在点处时，所以的取值范围是，平面向量基本定理，问题导航平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系在平面向量基本定理中为何要求向量，不共线对于同向量，若基底不同，则表示这向量的实数，的值是否相同例题导读例通过本例学习，学会应用平面向量基本定理解决实际问题试试教材习题组你会吗例通过本例学习，学会用已知向量表示其他向量试试教材习题组，你会吗平面向量基本定理定理如果，是同平面内的两个不共线向量，那么对于这平面内的任向量，存在唯对实数使基底我们把不共线的向量，叫作表示这平面内所有向量的组基底三点共线的充要条件平面上三点共线的充要条件是存在实数，使得其中，为平面内任意点判断正误正确的打，错误的打“”个平面内只有对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底若，是同平面内两个不共线向量，则，为实数可以表示该平面内所有向量若，，则，解析错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量，线性表示错误当与共线时，结论不定成立答案已知平行四边形，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是解析选因为，不共线，故是组基底已知向量与是组基底，实数，满足，则解析由原式可得解得所以答案已知向量与不共线，且，则共线的三点为解析，因为，所以，所以三点共线答案定理的实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式分解的唯性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，旦选定组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯的体现的数学思想平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题涉及的向量用基底化归，使问题得以解决对基底的理解设，是同平面内不共线的两个向量，给出下列四组向量与与与与其中不能作为平面内所有向量的组基底的是写出满足条件的序号解析由基底的定义可将此问题转化为判断各组中的两个向量是否共线的问题若不共线，则它们可作为组基底若共线，则它们不能作为组基底中，设，则无解，所以与不共线，即与可作为组基底中，设，则，则无解，所以与不共线，即与可作为组基底中，因为，所以与共线，即与不能作为组基底中，设，则，所以无解，所以与不共线，即与可作为组基底答案方法归纳同平面内的两个向量能不能作为基底，关键是看它们共不共线，在同平面内，只要两个向量不共线，就可以作为组基底设是平行四边形两对角线与的交点，下列向量组可作为表示这个平行四边形所在平面的所有向量的基底的是与与与与设，不共线，试判断，能否作为基底解选判断两个向量能否作基底，只需看两个向量是否共线，由图可知与不共线，与不共线，故可作为基底假设存在唯实数，使得，则，即因为，不共线，所以，⇒，所以这样的是不存在的，从而，不共线所以，能作为基底用基底表示向量如图，梯形中点为空间任意点，设，则向量用表示为如图所示，是边的个四等分点试用基底，表示，则链接教材例解析因为所以，因为是边的四等分点，所以，所以答案若本例中的条件不变，用基底，表示解因为是边的四等分点，所以即方法归纳根据平面向量基本定理，任何组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量已知为的边上的中线，若则如果其中，为已知长线围成的阴影区域内不含边界运动，且求的取值范围当时，求的取值范围解因为，以和的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知为此平行四边形的对角线，当长度增大且靠近时，趋向负无穷大，所以的取值范围是，如图所示，当时，在的反向延长线取点，所以，即，得而三点共线，所以存在实数使得，，所以所以，其中，，求，的值已知，在中，点在直线上，且满足，求的值解在矩形中，问题转化为向量问题利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解再将向量问题的解转化为平面几何问题的解如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足若不共线，则必有，消去，整理得，所以为定值方法归纳用向量解决平面几何问题的般步骤选取不共线的两个平面向量作为基底将相关的向量用基底向量表示，将几何，，所以，可得，由于，因为，所以，由于三点共线，则⇔为正实数，因为已知点是的重心，若过的重心，且，试问，的倒数和是否为定值若是，求出这个定值若不是，说明理由解平面向量基本定理的应用如图，解得，故填和如图，连接，因为分别是的中点，所以綊，所以四边形为平行四边形所以试以为基底表示解选因为所以由果其中，为已知向量，则，用，表示已知梯形中，，且，分别是的中点，设向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量已知为的边上的中线，若则如根据平面向量基本定理，任何组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知若本例中的条件不变，用基底，表示解因为是边的四等分点，所以即方法归纳因为是边的四等分点，所以，所以答案的个四等分点试用基底，表示，则链接教材例解析因为所以，的个四等分点试用基底，表示，则链接教材例解析因为所以，因为是边的四等分点，所以，所以答案若本例中的条件不变，用基底，表示解因为是边的四等分点，所以即方法归纳根据平面向量基本定理，任何组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量已知为的边上的中线，若则如果其中，为已知向量，则，用，表示已知梯形中，，且，分别是的中点，设试以为基底表示解选因为所以由解得，故填和如图，连接，因为分别是的中点，所以綊，所以四边形为平行四边形所以平面向量基本定理的应用如图，已知点是的重心，若过的重心，且，试问，的倒数和是否为定值若是，求出这个定值若不是，说明理由解因为，所以，由于三点共线，则⇔为正实数，因为，，所以，可得，由于，不共线，则必有，消去，整理得，所以为定值方法归纳用向量解决平面几何问题的般步骤选取不共线的两个平面向量作为基底将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题利用向量知识进行向量运算，得出向量问题的解再将向量问题的解转化为平面几何问题的解如图，在矩形中，和分别是边和上的点，满足若，其中，，求，的值已知，在中，点在直线上，且满足，求的值解在矩形中，所以所以，所以，即，得而三点共线，所以存在实数使得，即，所以，解得，所以，得，即，有易错警示对平面向量基本定理理解不准确致误如图，在中，点是边的中点，点在边上，且与相交于点，则∶∶∶∶∶解析设则，因为和分别共线，所以存在实数使得，故，而解析选因为中，所以和共线不能作为基底四边形中若则解析选，故选已知，不共线，并且，共线，则下列各式正确的是解析选，因为，共线，所以若为的边上点，且的面积与的面积之比为∶，则有解析选因为的面积与的面积之比为∶，所以，所以，所以已知，点在内，，设，，则解析选如图，过点作，，则，设，则所以所以如图，在平行四边形中，是的中点，以，为基底表示向量解析答案设，是两个不共线向量，已知，若三点共线，则解析因为所以因为三点共线，所以，所以又，是两个不共线向量，所以所以答案如图，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点，若，则的取值范围是解析由点是圆外点，可设，则又三点共线，令，则所以且，答案，如图所示，设是三边上的点，且，若试用，将表示出来解若点是所在平面内点，且满足求与的面积之比若为的中点，与交于点，设，求，的值解由可知三点共线，如图，令⇒⇒，所以，即面积之比为∶由⇒由三点共线及三点共线⇒，⇒，能力提升在中，是边上点，且，是上的点，若，则实数的值为解析选因为，所以，则因为，所以，即因其向产业化规模化集约化标准化方向迈进。第四章建设单位基本情况第节建设单位概况项目建设地位于，位于该县东北部，居湘江中游水资源丰富，交通便利，农业发展相对较快，气候条件好，绝大部分耕地均可复种饲草料和