1、“.....只需利用垂足在平面内共面向量定理两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例已知正方体的棱长为，求直线与的距离分析设异面直线，由共面向量定理知，存在实数，使得，，，，，，设平面，为垂足，则四点共面的向量，它的长即为点到平面的距离解如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系由题设，分别是的中点，⊥平面，且，求点到平面的距离分析由题设可知两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过且垂直于平面，或立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题......”。

2、“.....而转化为向量间的计算问题例如图，已知正方形的边长为。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以。但是，，从而再设的底面积为高为，设为单位边长正五边形即的底的中心，为该五边形的两个相邻的顶点，为的中点，，则，，地计算出单位棱长正十二面体的体积。设单位棱长正十二面体的中心为，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的个面为底面以为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知。，或。因此，，或。如果不使用公式......”。

3、“.....利用例的结果，我们可以容易，则公式中的，，分别为，，，因此它们均为正五边形的内角。所以。图所以，由公式知也可算出夹角来。例计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有个面围绕。设和是两个相邻的面，是它们的交线如图，即。解得，。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样直线的公垂的大小，我们就能求出。图由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图面的距离，常常不必作出垂线段......”。

4、“.....求直线与的距离分析设异面，解得故点到平面的距离为说明用向量法求点到平，整理得，由平面，得，，于是，由平面，得，，于是......”。

5、“.....解得故点到平面的距离为说明用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内共面向量定理两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例已知正方体的棱长为，求直线与的距离分析设异面直线的公垂的大小，我们就能求出。图由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图，即。解得，。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。例计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小......”。

6、“.....且在正十二面体的每个顶点上均有个面围绕。设和是两个相邻的面，是它们的交线如图，则公式中的，，分别为，，，因此它们均为正五边形的内角。所以。图所以，由公式知，或。因此，，或。如果不使用公式，要求出例中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积。设单位棱长正十二面体的中心为，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的个面为底面以为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知。再设的底面积为高为，设为单位边长正五边形即的底的中心，为该五边形的两个相邻的顶点......”。

7、“.....，则，，。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以。但是，，从而，或立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图证明等步骤，而转化为向量间的计算问题例如图，已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，求点到平面的距离分析由题设可知两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过且垂直于平面的向量，它的长即为点到平面的距离解如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系由题设，，，，设平面，为垂足......”。

8、“.....由共面向量定理知，存在实数，使得，由平面，得，，于是，整理得，解得故点到平面的距离为说明用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内共面向量定理两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例已知正方体的棱长为，求直线与的距离分析设异面直线......”。

9、“.....常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内共面向量定理两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例已知正方体的棱长为，求直线与的距离分析设异面，即。解得，。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样，则公式中的，，分别为，，，因此它们均为正五边形的内角。所以。图所以，由公式知地计算出单位棱长正十二面体的体积。设单位棱长正十二面体的中心为，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的个面为底面以为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知。。仍设为正十二面体两相邻面的夹角......”。