1、“.....其夹角为，求向量与的夹角对于两个非零向量，求使最小时的值，并求此时与的夹角五上的单位向量，那么已知⊥与的夹角均为，且，则已知若∥，求若的夹角为，求必要但不充分条件充要条件既不充分也不必要条件已知向量的夹角为，则已知其中是直角坐标系中轴轴正方向夹角是已知与之间的夹角为，那么向量的模为已知是非零向量，则是与垂直的充分但不必要条件评述两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是，因此，当∥时，有或两种可能四课堂练习已知且与垂直，则与的，若与反向，则它们的夹角，当⊥时，它们的夹角，当与的夹角是时，有с评述这类型题......”。

2、“.....⊥，与的夹角是时，分别求解当∥时，若与同向，则它们的夹角知⊥可以都非零对于若与с共线，记с则ссс，сссссс若与с不共线，则с≠积定义有，这里是与的夹角，只有或时，才有对于若非零向量垂直，有对于由可对任意向量с都有сс与是两个单位向量，则解上述个命题中只有正确对于两个向量的数量积是个实数，应有对于应有对于④由数量为何值时，向量与互相垂直例判断正误，并简要说明理由④若≠，则对任非零有≠，则与中至少有个为，则三讲解范例例已知与的夹角，求例已知与的夹角为求例已知且与不共线，面内任取点，设可得力做的功......”。

3、“.....作，分所成的比点的位置与的范围的关系当时，与同向共线，这时称点为的内分点当时，与反向共线，这时称点为的外分点线段定比分点坐标公式的向量形式在平外分外分定比分点坐标公式若点为实数，且，则点的坐标为我们称为点∥的充要条件是线段的定比分点及，是直线上的两点，是上不同于，的任点，存在实数，使，叫做点分所成的比，有三种情况内分，平面向量的坐标运算若，，则，，，若则，，平面向量的坐标运算若，，则，，，若则，∥的充要条件是线段的定比分点及，是直线上的两点......”。

4、“.....的任点，存在实数，使，叫做点分所成的比，有三种情况内分外分外分定比分点坐标公式若点为实数，且，则点的坐标为我们称为点分所成的比点的位置与的范围的关系当时，与同向共线，这时称点为的内分点当时，与反向共线，这时称点为的外分点线段定比分点坐标公式的向量形式在平面内任取点，设可得力做的功，是与的夹角二讲解新课两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作则三讲解范例例已知与的夹角，求例已知与的夹角为求例已知且与不共线，为何值时，向量与互相垂直例判断正误，并简要说明理由④若≠，则对任非零有≠......”。

5、“.....则解上述个命题中只有正确对于两个向量的数量积是个实数，应有对于应有对于④由数量积定义有，这里是与的夹角，只有或时，才有对于若非零向量垂直，有对于由可知⊥可以都非零对于若与с共线，记с则ссс，сссссс若与с不共线，则с≠с评述这类型题，要求学生确实把握好数量积的定义性质运算律例已知当∥，⊥，与的夹角是时，分别求解当∥时，若与同向，则它们的夹角，若与反向，则它们的夹角，当⊥时，它们的夹角，当与的夹角是时，有评述两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是，因此，当∥时，有或两种可能四课堂练习已知且与垂直，则与的夹角是已知与之间的夹角为......”。

6、“.....则已知其中是直角坐标系中轴轴正方向上的单位向量，那么已知⊥与的夹角均为，且，则已知若∥，求若的夹角为，求若与垂直，求与的夹角设是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角对于两个非零向量，求使最小时的值......”。

7、“.....理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点平面向量数量积的定义及几何意义平面向量数量积的个重要性质平面向量数量积的运算律教学过程复习引入向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有个非零实数，使平面向量基本定理如果，是同平面内的两个不共线向量，那么对于这平面内的任向量，有且只有对实数，使平面向量的坐标表示分别取与轴轴方向相同的两个单位向量作为基底任作个向量......”。

8、“.....有且只有对实数，使得把，叫做向量的直角坐标，记作，平面向量的坐标运算若，，则，，，若则，∥的充要条件是线段的定比分点及，是直线上的两点，是上不同于，的任点，存在实数，使，叫做点分所成的比，有三种情况内分外分外分定比分点坐标公式若点为实数，且，则点的坐标为我们称为点分所成的比点的位置与的范围的关系当时，与同向共线，这时称点为的内分点当时，与反向共线，这时称点为的外分点线段定比分点坐标公式的向量形式在平面内任取点，设可得力做的功......”。

9、“.....作则叫与的夹角说明当时，与同向当时，与反向当时，与垂直，记⊥注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围平面向量数量积内积的定义已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有，并规定与任何向量的数量∥的充要条件是线段的定比分点及，是直线上的两点，是上不同于，的任点，存在实数，使，叫做点分所成的比，有三种情况内分分所成的比点的位置与的范围的关系当时，与同向共线，这时称点为的内分点当时，与反向共线，这时称点为的外分点线段定比分点坐标公式的向量形式在平，则三讲解范例例已知与的夹角......”。