得滤波器的系统函数线性相位的约束如果我们设计的是线性相位的滤波器，则其采样值的幅度和相位定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。对于第类线性相位滤波器，即偶对称，长度为奇数时，式中第类线性相位滤波器幅度函数关于为偶对称，即如果采样值也用幅值纯标量与相角表示，即并在之间等间隔采样点如果采样频率很高，即很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令则有例设模拟滤波代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随的极点以及系数两者而变化。从式看出，数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔成反比的全部极点在单位圆内，即，因此数字滤波器也是因果稳定的。虽然脉冲响应不变法能保证平面极点与平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个平面与平面有这种面上处的单极点。与的部分分式的系数是相同的，都是。如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点位于平面的左半平面，即，则变换后的数字滤波器对求变换，即得数字滤波器的系统函数将式的和式的加以比较，可以看出平面的每个单极点变换到平在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对的采样，即假定分母的阶次大于分子的阶次般都满足这要求，因为只有这样才相当于个因果稳定的模拟系统，因此可将其相应的冲激响应是的拉普拉斯反变换，即式中，是单位阶跃函数。样后得到，再取变换得，过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将直接转换为数字滤波器。设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应，然后采，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图脉冲响应不变法中的频响混叠现象对模拟滤波器的单位冲激响应进行采样，采样频率为，若使增加，即令采样时间间隔交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时但是，任何个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱平面平面期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即平面变换到平面的标准变换关系式。图脉冲响应不变法的映射关系混叠失真由式知，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周拉斯变换，为的变换，利用采样序列的变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的平面变换成数字滤波器的平面，这个从到的变换是从模仿模拟滤波器的冲激响应，即将进行等间隔采样，使正好等于的采样值，满足式中，是采样周期。如果令是的拉普拉模仿模拟滤波器的冲激响应，即将进行等间隔采样，使正好等于的采样值，满足式中，是采样周期。如果令是的拉普拉斯变换，为的变换，利用采样序列的变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的平面变换成数字滤波器的平面，这个从到的变换是从平面变换到平面的标准变换关系式。图脉冲响应不变法的映射关系混叠失真由式知，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即平面平面但是，任何个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。图脉冲响应不变法中的频响混叠现象对模拟滤波器的单位冲激响应进行采样，采样频率为，若使增加，即令采样时间间隔减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。模拟滤波器的数字化方法由于脉冲响应不变法要由模拟系统函数求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应，然后采样后得到，再取变换得，过程较复杂。下面我们讨论如何由脉冲响应不变法的变换原理将直接转换为数字滤波器。设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次般都满足这要求，因为只有这样才相当于个因果稳定的模拟系统，因此可将其相应的冲激响应是的拉普拉斯反变换，即式中，是单位阶跃函数。在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对的采样，即对求变换，即得数字滤波器的系统函数将式的和式的加以比较，可以看出平面的每个单极点变换到平面上处的单极点。与的部分分式的系数是相同的，都是。如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点位于平面的左半平面，即，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即，因此数字滤波器也是因果稳定的。虽然脉冲响应不变法能保证平面极点与平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个平面与平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随的极点以及系数两者而变化。从式看出，数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔成反比如果采样频率很高，即很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令则有例设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数。解直接利用式可得到数字滤波器的系统函数为设，则有模拟滤波器的频率响应以及数字滤波器的频率响应分别为把和画在图上。由该图可看出，由于不是充分限带的，所以产生了严重的频谱混叠失真。图例的幅频特性优缺点从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。因而，个线性相位的模拟滤波器例如贝塞尔滤波器通过脉冲响应不变法得到的仍然是个线性相位的数字滤波器。脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器，冲响应图是实际低通滤波器的幅频特性，以为单位。滤波器长，实际阻带衰减为，通带波动为，均满足设计要求。图例中低通滤波器设计结果窗口法设计的主要优点是简单，使用方便。窗口函数大多有封闭的公式可循，性能参数都已有表格资料可供参考，计算程序简便，所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不易控制。用频率采样法设计滤波器频率采样法是从频域出发，把给定的理想频率响应以等间隔采样以此作为实际数字滤波器的频率响应的采样值，即令知道后，由定义，可以用这个采样值来惟确定有限长序列，即式中，为待设计的滤波器的单位脉冲响应。其系统函数为以上就是频率采样法设计滤波器的基本原理。此外，由频域内插公式知道，利用这个频域采样值同样可求得滤波器的系统函数线性相位的约束如果我们设计的是线性相位的滤波器，则其采样值的幅度和相位定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束条件。对于第类线性相位滤波器，即偶对称，长度为奇数时，式中第类线性相位滤波器幅度函数关于为偶对称，即如果采样值也用幅值纯标量与相角表示，即并在之间等间隔采样点将代入式与式中，并写成的函数，有由式可知，满足偶对称要求对于第二类线性相位滤波器，即偶对称，为偶数，则其的表达式仍为但是，其幅度函数关于是奇对称的，关于，为偶对称，所以，这时的也应满足奇对称要求对于第三类线性相位滤波器，即奇对称，为奇数，时，式中将代入式与式中，并写成的函数，得即满足奇对称要求。对于第四类线性相位滤波器，即奇对称，为偶数，则其的表达式仍为但是，其幅度函数关于是偶对称的，关于，为奇对称，即所以，这时的也应满足偶对称要求而则与前面公式式相同逼近误差及其改进措施频率采样法是比较简单的，但是我们还应该进步考察，用这种频率采样所得到的系统函数究竟逼近效果如何如此设计所得到的频响与要求的理想频响会有怎样的差别在第章