1、“.....且,时函数，则函数在区间,内零点个数是解析选依题意得，函数是以为周期函数，在同坐标系下画出函数与函数图像，结合图像得，当,时，它们图像公共点共有个，即函数在区间,内零点个数是例使成立取值范围是若不等式对恒成立，取值范围是思路点拨无法直接求解该不等式，可作出函数和图像，采用数形结合思想求解若讨论或解比较麻烦，可作出函数与大致图像，利用数形结合思想求解利用数形结合解不等式或求参数问题解析在同坐标系中，分别作出，图像，由图可知，取值范围是,作出和简图，依题意知应有，故答案,，解含参数不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合方法，问题将会顺利地得到解决当,时，不等式，并且只需当时所以，所以解析作出函数图像，由图像知函数单调递增区间为，，所以，所以答案安徽高考若函数单调递增区间是，，则例设是单位向量，且，则最小值为当，函数最小值为利用数形结合求最值思路点拨根据，可化简......”。

2、“.....利用向量与位置关系寻找问题结论分式形式函数最值问题常考虑构造斜率模型求解，常常是过个定点和个动点直线斜率解析由于，因此等价于求最大值，这个最大值只有当向量与向量同向共线时取得由于，故⊥，如图所示，当时，取最大值，故所求最小值为，它表示点,与点，连线斜率，而点，在，时是圆左半圆不含端点，数形结合知当过,直线与该半圆相切时，斜率最小，即最小设切线方程为，则⇒或舍，故最小值为答案“形”可以使些抽象问题具体化，而“数”可以使思维精确化，应用数形结合在些求最值问题中，可以收到意想不到效果把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义图形，例如看作直线斜率，转化为平面直角坐标系内两且中与三角形三边沟通将有序实数对或复数和点沟通将二元次方程与直线将二元二次方程与相应圆锥曲线对应等等这种代数结构向几何结构转化常常表现为构造个图形平面或立体另外，函数图像也是实现数形转化有效工具之，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透......”。

3、“.....则实数取值范围是利用数形结合讨论方程解或图像交点思路点拨将函数零点转化为两个函数与图像交点问题求解在同坐标内画出两个函数图像，利用数形结合求解解析在同平面直角坐标系内作出与图像如图所示，易知，两函数图像只有个交点因此函数只有个零点图根据绝对值意义，或在直角坐标系中作出该函数图像，如图中实线所示根据图像可知，当或时有两个交点图答案,,讨论方程解或函数零点可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线交点问题，但用此法讨论方程解定要注意图像准确性全面性，否则会得到错解正确作出两个函数图像是解决此类问题关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合若定义在上函数满足，且,时函数，则函数在区间,内零点个数是解析选依题意得，函数是以为周期函数，在同坐标系下画出函数与函数图像，结合图像得，当,时，它们图像公共点共有个，即函数在区间......”。

4、“.....取值范围是思路点拨无法直接求解该不等式，可作出函数和图像，采用数形结合思想求解若讨论或解比较麻烦，可作出函数与大致图像，利用数形结合思想求解利用数形结合解不等式或求参数问题解析在同坐标系中，分别作出，图像，由图可知，取值范围是,作出和简图，依题意知应有，故答案,，解含参数不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合方法，问题将会顺利地得到解决当,时，不等式，并且只需当时所以，所以解析作出函数图像，由图像知函数单调递增区间为，，所以，所以答案安徽高考若函数单调递增区间是，，则例设是单位向量，且，则最小值为当，函数最小值为利用数形结合求最值思路点拨根据，可化简，可根据向量加法几何意义作图，利用向量与位置关系寻找问题结论分式形式函数最值问题常考虑构造斜率模型求解，常常是过个定点和个动点直线斜率解析由于，因此等价于求最大值......”。

5、“.....故⊥，如图所示，当时，取最大值，故所求最小值为，它表示点,与点，连线斜率，而点，在，时是圆左半圆不含端点，数形结合知当过,直线与该半圆相切时，斜率最小，即最小设切线方程为，则⇒或舍，故最小值为答案“形”可以使些抽象问题具体化，而“数”可以使思维精确化，应用数形结合在些求最值问题中，可以收到意想不到效果把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义图形，例如看作直线斜率，转化为平面直角坐标系内两点，和，连线斜率，特别适用于个定点和个动点动点在个区域内形式或看作是两点，和，间距离或距离平方其他具有几何意义概念都可以利用相关几何图形直观进行分析判断，例如向量问题，可以考虑向量图形大小与方向及向量运算几何意义构造图形直观解题复数与复平面内点对应关系......”。

6、“.....直接从几何图形入手进行求解即可对于研究函数方程或不等式最值问题，可通过函数图像求解函数零点顶点是关键点，做好知识迁移与综合运用运用数形结合思想分析解决问题时，应把握以下三个原则等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形局限性，不能完整表现数般性，这时图形性质只能是种直观而浅显说明，但它同时也是抽象而严格证明诱导双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观分析，又要进行代数抽象探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析在许多时候是很难行得通例如，在解析几何中，我们主要是运用代数方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形几何特征，将会使得复杂问题简单化简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法......”。

7、“.....就是根据数与形之间对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题种重要思想方法数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题本质，它是数学规律性与灵活性有机结合数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形是借助形生动性和直观性来阐明数形之间联系，即以形作为手段，数作为目，比如应用函数图像来直观地说明函数性质二是借助于数精确性和规范严密性来阐明形些属性，即以数作为手段，形作为目，如应用曲线方程来精确地阐明曲线几何性质数形结合途径通过坐标系“形题数解”借助于直角坐标系复平面，可以将几何问题代数化这方法在解析几何中体现相当充分在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查值得强调是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用技巧这是因为三角公式使用，可以大大缩短代数推理实现数形结合......”。

8、“.....建立起来概念，如复数三角函数等所给等式或代数式结构含有明显几何意义如等式，表示坐标平面内以,为圆心，以为半径圆通过转化构造“数题形解”许多代数结构都有着相应几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化例如，将与距离互化将与面积互化，将或与余弦定理沟通将且中与三角形三边沟通将有序实数对或复数和点沟通将二元次方程与直线将二元二次方程与相应圆锥曲线对应等等这种代数结构向几何结构转化常常表现为构造个图形平面或立体另外，函数图像也是实现数形转化有效工具之，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径例北京高考函数零点个数为天津高考已知函数图像与函数图像恰有两个交点，则实数取值范围是利用数形结合讨论方程解或图像交点思路点拨将函数零点转化为两个函数与图像交点问题求解在同坐标内画出两个函数图像，利用数形结合求解解析在同平面直角坐标系内作出与图像如图所示，易知......”。

9、“.....或在直角坐标系中作出该函数图像，如图中实线所示根据图像可知，当或时有两个交点图答案,,讨论方程解或函数零点可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线交点问题，但用此法讨论方程解定要注意图像准确性全面性，否则会得到错解正确作出两个函数图像是解决此类问题关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合若定义在上函数满足，且,时函数，则函数在区间,内零点个数是解析选依题意得，函数是以为周期函数，在同坐标系下画出函数与函数图像，结合图像得，当,时，它们图像公共点共有个，即函数在区间,内零点个数是例使成立取值范围是若不等式对恒成立，取值范围是思路点拨无法直接求解该不等式，可作出函数和图像，采用数形结合思想求解若讨论或解比较麻烦，可作出函数与大致图像，利用数形结合思想求解利用数形结合解不等式或求参数问题解析在同坐标系中，分别作出，图像，由图可知，取值范围是,作出和简图，依题意知应有，故答案,......”。