1、“.....的对称点连接分别交，于点点，则点点即为所求如图，两地在条河的两岸，现要在河上建座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直作法将点沿垂直与河岸的方向平移个河宽到，连接交河对岸与点,则点为建桥的位置，为所建的桥。证明由平移的性质，得且所以两地的距,若桥的位置建在处，连接,则两地的距离为,在中,即所以桥的位置建在处，两地的路程最短。如图，是两个蓄水池，都在河流的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建个抽水站，将河水送到两地......”。

2、“.....可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法作点关于直线的对称点点,连接交直线于点，则点为建抽水站的位置。证明在直线上另外任取点，连接,点关于直线对称,点在直线上在中即所以抽水站应建在河边的点处，班举行晚会，桌子摆成两直条如图中的桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，坐在处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计条行走路线，使其所走的总路程最短作法作点关于直线的对称点点,作点关于直线的对称点点,连接分别交直线于点，则最短证明在直线上另外任取点......”。

3、“.....点关于直到的路径最短假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直作法将点沿垂直与河岸的方向平移个河宽到，连接交河对岸与点,则点为建桥的位置，为所建的桥。证明由平移的性质，得且所以两地的距,若桥的位置建在处，连接,则两地的距离为,在中,即所以桥的位置建在处，两地的路程最短。如图，是两个蓄水池，都在河流的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建个抽水站，将河水送到两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法作点关于直线的对称点点,连接交直线于点......”。

4、“.....证明在直线上另外任取点，连接,点关于直线对称,点在直线上在中即所以抽水站应建在河边的点处，班举行晚会，桌子摆成两直条如图中的桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，坐在处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计条行走路线，使其所走的总路程最短作法作点关于直线的对称点点,作点关于直线的对称点点,连接分别交直线于点，则最短证明在直线上另外任取点，连接点,点关于直线对称，点在上，同理两点之间，线段最短，即即最短•如图为马厩，为帐篷，牧马人天要从马厩牵出马......”。

5、“.....再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这天的最短路线。作法作点关于直线的对称点点,作点关于直线的对称点点,连接分别交直线于点，则最短最短路线证明在直线上另外任取点，连接点,点关于直线对称，点在上，同理在四边形中，两点之间，线段最短，即即最短第十三章轴对称课题学习最短路径问题如图所示，从地到地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近你的理由是什么两点之间,线段最短Ⅰ两点在条直线异侧已知如图在直线的两侧，在上求点，使得最小。连接,线段与直线的交点，就是所求......”。

6、“.....要在燃气管道上修建个泵站，分别向两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短所以泵站建在点可使输气管线最短应用点的位置即为所求作法作点关于直线的对称点连接,交直线于点Ⅱ两点在条直线同侧已知如图,在直线的同侧，在上求点，使得最小为什么这样做就能得到最短距离呢即三角形任意两边之和大于第三边问题如图所示，要在街道旁修建个奶站，向居民区提供牛奶，奶站应建在什么地方......”。

7、“.....才能使最小作点关于直线“街道”的对称点，然后连接，交“街道”于点，则点就是所求的点Ⅲ点在两相交直线内部已知如图是锐角内部任意点，在的两边，上各取点组成三角形，使三角形周长最小分析当和三条边的长度恰好能够体现在条直线上时，三角形的周长最小Ⅲ点在两相交直线内部已知如图是锐角内部任意点，在的两边，上各取点组成三角形，使三角形周长最小分别作点关于，的对称点连接分别交，于点点，则点点即为所求如图，两地在条河的两岸，现要在河上建座桥......”。

8、“.....桥要与河垂直作法将点沿垂直与河岸的方向平移个河宽到，连接交河对岸与点,则点为建桥的位置，为所建的桥。证明由平移的性质，得且所以两地的距,若桥的位置建在处，连接,则两地的距离为,在中,即所以桥的位置建在处，两地的路程最短。如图，是两个蓄水池，都在河流的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建个抽水站，将河水送到两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法作点关于直线的对称点点,连接交直线于点，则点为建抽水站的位置。证明在直线上另外任取点......”。

9、“.....的对称点连接分别交，于点点，则点点即为所求如图，两地在条河的两岸，现要在河上建座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直作法将点沿垂直与河岸的方向平移个河宽到，连接交河对岸与点,则点为建桥的位置，为所建的桥。证明由平移的性质，得且所以两地的距,若桥的位置建在处，连接,则两地的距离为,在中,即所以桥的位置建在处，两地的路程最短。如图，是两个蓄水池，都在河流的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建个抽水站，将河水送到两地......”。