1、“.....将这个玩具向上抛掷次，设事件表示向上的面出现奇数点，事件表示向上的面出现的点数不超过，事件表示向上的面出现的点数不小于，则与是互斥而非对立事件与是对立事件与是互斥而非对立事件与是对立事件解析∩出现点数或,事件，不互斥更不对立∩∅，，故事件，是对立事件规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系城市有甲乙两种报纸供居民们订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订种报纸”，事件为“至多订种报纸”，事件为“种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件如果是，再判断它们是不是对立事件与与与与解由于事件“至多订种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件与事件有可能同时发生......”。

2、“.....故与是互斥事件由于事件不发生可导致事件定发生，且事件不发生会导致事件定发生，故与还是对立事件事件“至少订种报纸”中有这些可能“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲乙两种报纸”，事件“至多订种报纸”中有这些可能“种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故与不是互斥事件由的分析，事件“种报纸也不订”是事件的种可能，即事件与事件有可能同时发生，故与不是互斥事件考点二随机事件的频率与概率高考陕西卷保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下若每辆车的投保金额均为元，估计赔付金额大于投保金额的概率在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为元的概率赔付金额元车辆数辆解设表示事件“赔付金额为元”，表示事件“赔付金额为元”，以频率估计概率得，由于投保金额为元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为元和元......”。

3、“.....由已知，样本车辆中车主为新司机的有辆，而赔付金额为元的车辆中，车主为新司机的有辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为元的频率为，由频率估计概率得规律方法频率是个不确定的数，在定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于固定的值，该值就是概率射击运动员在同条件下进行练习，结果如表所示计算表中击中环的各个频率这位射击运动员射击次，击中环的概率为多少射击次数击中环次数击中环频所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或点的概率设“命中环以上含环”为事件，“命中环”为事件，“命中环”为事件，“命中环以下含环”为事件，则与对立，又因为三个事件互斥，所以，所以规律方法判断两个事件是否为互斥事件，就是判断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥事件，不然就不是互斥事件若两个事件互斥，且必有个发生......”。

4、“.....即，互斥，对立，战士射击次，问若中靶的概率为，则不中靶的概率为多少若命中环的概率是，命中环的概率为，命中环的概率为，则至少命中环的概率为多少不够环的概率为多少解设中靶为事件，则不中靶为则由对立事件的概率公式可得，设命中环为事件，命中环为事件，命中环为事件，由题意知记至少命中环为事件，则记至少命中环为事件，则故不够环为，则方法思想正难则反思想求对立事件的概率超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排名员工随机收集了在该超市购物的位顾客的相关数据，如下表所示次购物量至件至件至件至件件及以上顾客数人结算时间分钟人已知这位顾客中次购物量超过件的顾客占确定，的值，并估计顾客次购物的结算时间的平均值求位顾客次购物的结算时间不超过分钟的概率将频率视为概率解由已知得所以，该超市所有顾客次购物的结算时间组成个总体，所收集的位顾客次购物的结算时间可视为总体的个容量为的简单随机样本，顾客次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计......”。

5、“.....“该顾客次购物的结算时间为分钟”，将频率视为概率得，故位顾客次购物的结算时间不超过分钟的概率为名师点评求些较复杂的概率问题时，通常有两种方法是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值二是求此事件的对立事件的概率，然后利用可得解本题第问利用对立事件求解，计算相对减少工厂的产品分为合格品和次品两类，而合格品又分为级品，二级品，三级品三档，在正常生产的条件下，出现“级品”的概率为，出现“二级品或三级品”的概率为，求出现次品的概率解设出现级品，出现二级品或三级品，出现合格品，出现次品，由于且∩∅互斥，所以，故出现次品的概率为第讲随机事件的概率第九章计算原理概率随机变量及其分布概率与频率在相同的条件下重复次试验，观察事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用来估计概率频率事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件，则事件......”。

6、“.....那么称事件与事件相等并事件和事件若事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件或和事件或发生定发生⊇或⊆⊇当且仅当事件发生或事件发生定义符号表示交事件积事件若事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件或积事件或互斥事件若∩为事件，那么称事件与事件互斥∩∅对立事件若∩为事件，为，那么称事件与事件互为对立事件∩∅且当且仅当事件发生且事件发生∩不可能不可能必然事件概率的取值范围必然事件的概率不可能事件的概率概率的加法公式如果事件与事件互斥，则对立事件的概率若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，概率的几个基本性质做做若为互斥事件，则在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下排队人数人以上概率则至少有两人排队的概率为辨明两个易误点易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是个常数对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不定是对立事件......”。

7、“.....则事件互斥事件的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件所含的结果组成的集合的补集解析两个事件是对立事件，则它们定互斥，反之不定成立做做甲，是互斥事件乙，是对立事件，那么甲是乙的充分但不必要条件甲是乙的必要但不充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加演讲比赛，事件“至少有名女生”与事件“全是男生”是互斥事件，不是对立事件是对立事件，不是互斥事件既是互斥事件，也是对立事件既不是互斥事件与不是对立事件考点随机事件的关系考点二随机事件的频率与概率考点三互斥事件对立事件的概率高频考点考点随机事件的关系个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字，将这个玩具向上抛掷次，设事件表示向上的面出现奇数点，事件表示向上的面出现的点数不超过，事件表示向上的面出现的点数不小于，则与是互斥而非对立事件与是对立事件与是互斥而非对立事件与是对立事件解析∩出现点数或,事件，不互斥更不对立∩∅，，故事件......”。

8、“.....而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系城市有甲乙两种报纸供居民们订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订种报纸”，事件为“至多订种报纸”，事件为“种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件如果是，再判断它们是不是对立事件与与与与解由于事件“至多订种与不是对立事件考点随机事件的关系考点二随机事件的频率与概率考点三互斥事件对立事件的概率高频考点考点随机事件的关系个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字，将这个玩具向上抛掷次，设事件表示向上的面出现奇数点，事件表示向上的面出现的点数不超过，事件表示向上的面出现的点数不小于，则与是互斥而非对立事件与是对立事件与是互斥而非对立事件与是对立事件解析∩出现点数或,事件，不互斥更不对立∩∅，，故事件，是对立事件规律方法对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件......”。

9、“.....具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系城市有甲乙两种报纸供居民们订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订种报纸”，事件为“至多订种报纸”，事件为“种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件如果是，再判断它们是不是对立事件与与与与解由于事件“至多订种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件与事件有可能同时发生，故与不是互斥事件事件“至少订种报纸”与事件“种报纸也不订”是不可能同时发生的，故与是互斥事件由于事件不发生可导致事件定发生，且事件不发生会导致事件定发生，故与还是对立事件事件“至少订种报纸”中有这些可能“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲乙两种报纸”，事件“至多订种报纸”中有这些可能“种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故与不是互斥事件由的分析，事件“种报纸也不订”是事件的种可能，即事件与事件有可能同时发生，故与不是互斥事件考点二随机事件的频率与概率高考陕西卷保险公司利用简单随机抽样方法......”。