院届本科生毕业论文设计由的传递性知由，知所以有,证毕数学中，等价关系有很多，例如，容易验证为等价关系，我们称之为平凡的等价关系下面再举几个例子例集合的幂集中两个元素之间的相等关系可以理解为的子集,,容易验证它是自反的，对称的，传递的因此,是中的个等价关系例集合的幂集中的两个元素之间的包含关系可以理解为集合的子集,显而意见他是自反的，传递的，但是他不是对称的，因此,不是中的个等价关系例实数集合中有个通常的小于等于关系，即的子集,容易验证关系是传递的，但是反对称的，反自反的所以,不是上的等价关系合肥师范学院届本科生毕业论文设计等价关系与集合分类间的关系本节中，我们讨论等价关系与集合的分类之间的对应关系，近世代数中的内容告诉我们，集合的任等价关系可唯的确定集合的种分类，反之，集合的任分类可唯地确定等价关系本文就是从等价关系确定的等价类出发，来讨论几门课程中与等价关系息息相关的新概念由集合分类唯确定等价关系先来看集合的分类定义若把个集合分成若干个叫做类的子集，使得的每个元属于而且只属于个类，那么这些类的全体叫做集合的个分类等价关系于集合的分类的关系由以下的两个定理可以看出定理集合的个分类决定的元间的个等价关系我们利用给的分类来做个等价关系规定,当而且仅当，在同类这样规定的显然是的元间的个关系只需证明，它是个等价关系即可与同在个类，即若和同在类，那么与也在类，即若，同在类，且，同在类，因为类与类之间两两无交，所以，也在同类，即,从而命题得证等价关系唯确定集合分类反之，下面的定理告诉我们集合中元之间的种等价关系亦能唯确定集合的种分类定理集合元间的个等价关系决定的的个分类我们利用给定的等价关系来做个的分类把所有同的个固定元等价的元都合肥师范学院届本科生毕业论文设计放在起，作为个子集，这个子集有符号来表示我们说，所有这样得到的子集就做成的个分类可以分三步来证明这点假定那么，由等价关系的性质以及和的定义，这就是说，但由等价关系的相关性质，因此同样可以推得由与，的每个元只能属于个类，假定,那么由，的定义，，这样有上面的定理证明的，步得，于是由可得的每个元的的确属于个类因为，由定理证明的以及上述类的定义，证完由此可见，集合的等价关系与集合的分类之间有对应的关系，而本文正是基于这种对应关系，由集合的种等价关系确定的等价类诱导出数学分析高等代数近世代数等课程中的几个重要概念及应用简单的应用等价关系及对应的等价类例子在生活中随处可见，比如定义个班级同学的性别关合肥师范学院届本科生毕业论文设计系甲乙满足关系当且仅当甲乙同性别甲乙分别是指同学甲乙，显然其为等价关系，利用等价关系确定等价类的方法很快得出两个等价类男生女生下面再介绍等价关系的两个简单应用的例子来说明如何利用等价关系来确定相应的等价类例我们取个固定的整数，利用这个，我们规定的元间的个关系当而且只当的时候，这里表示能整除可以验证这就个等价关系例定义在整数集上的关系,，则可以验证是等价关系，并且有等价关系在几门课程中的应用数学分析中的等价关系数学分析中，等价关系主要是指等价无穷小，有时候当我们在求极限时，我们可以不用罗比达法则，而利用等价无穷小会往往会给我们的求解带来极大地方便合肥师范学院届本科生毕业论文设计定义若则性质若，则若系理论中存在个缺限,即没有考虑元素与元素间关系程度的不同在提出了集的概念以后,人们便将经典的二元关系扩充为模糊数学中的模糊二元关系,通过模糊二元关系可以较好地刻画元素与元素间关系程度的不同,以模糊二元关系为基础,人们很自然地提出了模糊等价关系的概念个上的模糊等价关系实际上就是上的个模糊子集,满足自反性对称性和传递性,与普通等价关系既有关系又有区别借助于模糊等价关系,可以较好地解决具有性的聚类分析问题,而聚类分析则是数据挖掘领域中的重要课题之在教学过程中适当介绍模糊等价关系,方面可以使学生们加深对等价关系概念的理解,学会用发展的眼光分析和解决问题,另方面可以克服大多数离散数学教材只注重阐述理论而很少涉及其理论在计算机领域中的应用的缺陷,使学生们尽可能多地了解等价关系在计算机领域中的具体应用,提高学习的兴趣事实上,等价关系在计算机领域中还有很多应用,例如在软件工程领域,为了尽可能多的找出软件设计过程中可能存在的各种,常常使用种被称之为等价类划分的软件测试方法这种方法实际上就是将所有待测试的数据所构成的集合划分成若干个符合软件需求规格及设计规定的有效等价类和若干个不符合软件需求规格及设计规定的无效等价类,然后在每个有效等价类和无效等价类中只各取个数据进行测试在组合计数问题中会碰到这样种困难，即区分所讨论的组合计数问题中哪些应该看成是相同的，哪些应该看成是不同的，在计数的过程中不能出现任何的重复或遗漏这种困难是概念性的，因为它要依据具体问题的要求确切地给出对象异同的数学定义也就是说，要在对象集合上定义个等价关系，这样，计数的对象便是等价类，而不是元素本身组合计数问题中的许多结论定理如著名的引理计数定理都要以这类等价关系的概念为基础通过上面各种具体等价关系的描述可以看到，尽管这些具体的等价关系分属于离散数学课程中各个不同的分支，所基于的集合中的对象表现形式和描述方式不同，对象的性质合肥师范学院届本科生毕业论文设计也是千差万别，但它们都是基于集合上的二元关系且均具有自反对称和可传递三个性质，将它们的这种共性抽象出来便可使这些具体的等价关系都统到定义上来，从而实现了从特殊到般的抽象由此可见，等价关系实质上是对相应集合中的具有同性的对象即具有共性特征的对象的种抽象，从认识论的角度来看，这符合从特殊到般的认识规律合肥师范学院届本科生毕业论文设计小结本文通过等价关系把大学中数学分析高等代数离散数学近世代数以及点集拓扑等多门课联系在起，很好的说明和加深了对等价关系本质的理解，也方便了大家学会把各门课联系在起融会贯通大家可以站在定的高度去把握等价关系和更好的去学好数学本文是以等价关系为主线，通过他在些课程中所引出的新的概念的介绍和这些概念的作用来突出等价关系的在些课程中的应用，这些是本文的重点如果有不足之处，希望读者朋友指证，大家共同探讨，共同进步合肥师范学院届本科生毕业论文设计参考文献石生明高等代数第三版高等教育出版社，张禾瑞近世代数基础高等教育出版社，耿素云离散数学第四版清华大学出版社，杨海蓉大学数学课程中等价关系的教与学合肥师范学院学报吴国兵离散数学中等价关系南京审计学院范武英,张有谊数学中等价关系的应用青海师专学报，石瑞平,张素芬等价关系的性质及性质石家庄信息工程职业学院王志龙等价关系与等价关系矩阵兰州工业高等专科学校学报刘均梅等价关系在陪集教学中的应用探讨北京联合大学学报自然科学版装订线合肥师范学院届本科生毕业论文设计致谢本文是在我的论文导师杨老师的悉心指导下完成的，杨老师渊博的学识敏锐的思维民主而严谨的作风，使我受益非浅，终生难忘杨老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习努力工作在此，我还要感谢数学系各位任课老师,感谢他们四年来的栽培与爱护感谢我所有的同学和朋友，谢谢你们多年来对我的帮助，与你们起度过的大学时光将成为我生中最美的记忆经过大学四年的生活和学习，我真的学到了很多这四年的经历对我将来的生活有很大的帮助，这些经历使我从刚进校的青涩逐渐变得成熟在今后的工作和生活中，我将始终对合肥师范学院尤其是数学系保持感恩之心本科生毕业论文设计题目等价关系的应用装订线合肥师范学院届本科生毕业论文设计浅谈等价关系在大学数学些课程中的应用摘要等价关系作为集合元素之间的种特殊二元关系，在大学数学多门课程中均有广泛应用，例如数学分析，高等代数，近世代数，离散数学，点集拓扑等基础课程和专业核心课程本文首先从等价关系的两种定义出发，通过等价关系的不同定义其在高等代数中的矩阵合同相似概念近世代数中的陪集商群概念离散数学中的等值式图论及点集拓扑中的连通关系商空间等概念，并讨论这些概念在些课程中的作用其次，讨论等价关系在高等数学的求解极限中的应用最后，本文讨论了等价关系在大学课程之外的应用拓展关键词等价关系相似陪集商群商空间合肥师范学院届本科生毕业论文设计装订线合肥师范学院届本科生毕业论文设计目录摘要引言基本概念等价关系与集合分类间的关系由集合分类唯确定等价关系等价关系唯确定集合分类简单的应用等价关系在几门课程中的应用数学分析中的等价关系高等代数中的等价关系初等变换矩阵的相似矩阵的合同等价关系在离散数学中的引出的新概念等价关系在近世代数中的引出的新概念陪集商群等价关系在点集拓扑中的引出的新概念商空间合肥师范学院届本科生毕业论文设计连通分支道路连通空间等价关系的发展以及应用拓展小结参考文献致谢合肥师范学院届本科生毕业论文设计引言大学四年，在开设的数学与应用数学基础核心课程中，我们发现，大多课程都是以集合作为第章内容，随后利用集合定义映射函数等概念，反之两集合元素之间的关联体现元素与元素之间关联，而映射和函数均为种特殊的关系在集合的所有关系中，有种特殊的关系等价关系出现在了大学数学众多课程中，例如数学分析中等价无穷小的概念，高等代数中矩阵的合同相似等价概念，近世代数的中集合的分类等等基于此，本文从等价关系的两种定义出发，即代数角度和集合角度的定义出发，通过其等价类来统总结与等价关系息息相关的这些概念，方面有助于对这些课程中新概念的理解，另方面进步了解等价关系以及各种具体的等价类,有助于大家对等价关系的更深理解,并提高大家抽象思维能力和逻辑推理能力，为今后进步学习和掌握与等价关系相关的新概念打好基础所以有必要对等价关系做个更为深刻的理解本文首先介绍了等价关系的定义，其次分析了等价关系在数学分析高等代数离散数学近世代数和离散数学等课程中的主要应用，最后对这些应用作了分析与拓展，使大家对等价关系有更为透彻的把握，也希望大家有个大致的轮廓