1、“.....题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为故，即与的夹角的余弦值是解析答案思维升华，题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为故，即与的夹角的余弦值是解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义模夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的解析答案思维升华解析答案思维升华例已知向量，的夹角为，且则，的夹角为例已知向量，的夹角为，且则，解析答案思维升华，的夹角为例已知向量，的夹角为，且则，解析答案思维升华例已知向量，的夹角为，且则在数量积的基本运算中......”。

2、“.....尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式解析答案思维升华例已知向量，的夹角为，且则要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的解析答案思维升华解析答案思维升华例山东已知向量与的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为由⊥知，即解析答案思维升华例山东已知向量与的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为，解得解析答案思维升华例山东已知向量与的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为，解得解析答案思维升华例山东已知向量与的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义模夹角等公式，尤其对要引起足够重视，它是求距离常用的公式解析答案思维升华例山东已知向量与的夹角为，且，若，且⊥，则实数的值为要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的解析答案思维升华例山东已知向量与的夹角为，且，若......”。

3、“.....则实数的值为跟踪训练天津在平行四边形中，为的中点若，则的长为解析在平行四边形中，取的中点，则又，跟踪训练天津在平行四边形中，为的中点若，则的长为，又，解析江西已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则，江西已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则题型三数量积的综合应用思维点拨解析思维升华例已知的角所对的边分别是，设向量，若，求证为等腰三角形由可得的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论由⊥得关系，再利用余弦定理得，代入面积公式思维点拨解析思维升华题型三数量积的综合应用例已知跟踪训练已知向量，函数的两条相邻对称轴间的距离为求函数的单调递增区间因为，所以所以跟踪训练已知向量，函数的两条相邻对称轴间的距离为求函数的单调递增区间由得所以函数的单调递增区间是，当，时，求的值域解因为所以，所以,所以即的值域是,高考小考点高考中以向量为背景的创新题思维点拨解析温馨提醒典例对任意两个非零的平面向量和......”。

4、“.....满足与的夹角且∘和∘都在集合中，则∘先根据定义表示出∘和∘，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出，然后利用，确定的取值范围，结合集合中的限制条件即可确定的值，从而求出∘的值思维点拨解析温馨提醒根据新定义，得∘，∘又因为∘和∘都在集合中，设∘，∘，，思维点拨解析温馨提醒那么∘∘，又所以所以，的值均为故∘答案思维点拨解析温馨提醒解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算然后确定解题策略，根据题目条件进行求解思维点拨解析温馨提醒思维点拨解析温馨提醒设向量定义种向量积⊗已知向量点，在的图象上运动，是函数图象上的点，且满足⊗其中为坐标原点，则函数的值域是根据定义先写出⊗，进而求出，确定函数的解析式思维点拨解析温馨提醒设由新的运算可得⊗由消去得，思维点拨解析温馨提醒所以，易知的值域是，答案......”。

5、“.....首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，将问题转化为我们熟悉的定义运算然后确定解题策略，根据题目条件进行求解思维点拨解析温馨提醒方法与技巧计算数量积的三种方法定义坐标运算数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用求向量模的常用方法利用公式，将模的运算转化为向量的数量积的运算利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧失误与防范数量积运算律要准确理解应用，例如，不能得出，两边不能约去个向量两个向量的夹角为锐角，则有，反之不成立两个向量夹角为钝角，则有，反之不成立若向量，满足，则的值为解析依题意得，所以已知向量则解析，已知在三角形中，，若为的三等分点靠近点侧，则的取值范围为解析因为，所以，所以，答案，向量与向量,的夹角为若点的坐标是则点的坐标为解析与,反向，可设又又点坐标为福建改编在四边形中，则该四边形的面积为解析......”。

6、“.....满足，且，则解析又课标全国Ⅱ已知正方形的边长为，为的中点，则解析由题意知已知若与的夹角为钝角，则的取值范围是解析由，即，解得，由得，即因此的取值范围是，且，，已知求与的夹角解由，解得，又，求和解已知的内角为，其对边分别为，为锐角，向量且解⇒⇒⇒为锐角⇒⇒如果，求的最大值解⇒⇒故的最大值为的外接圆圆心为，半径为且，则在方向上的投影为由，得，解析如图，设为的中点，共线且，又为的外心，为的中垂线在方向上的投影为答案在中设点，满足若，则解析即答案如图所示，在平面四边形中，若则解析由于所以答案湖南在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是解析设由，及知，即动点的轨迹为以点为圆心的单位圆又，问题转化为圆上的点与点，之间距离的最大值圆心,与点，之间的距离为，故的最大值为答案已知向量函数求的单调递增区间解由，，得，，的单调递增区间是，在中，分别是角的对边，且，且，求......”。

7、“.....即将代入可得，解得或或，或，平面向量的数量积第五章平面向量数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分平面向量的数量积已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做和的数量积或内积，记作规定零向量与任向量的数量积为两个非零向量与垂直的充要条件是，两个非零向量与平行的充要条件是平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积平面向量数量积的重要性质非零向量⊥⇔当与同向时，当与反向时，平面向量数量积满足的运算律交换律为实数平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量则，由此得到若则或设则两点间的距离设两个非零向量则⊥⇔思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量两个向量的数量积是个实数，向量的加减数乘运算的运算结果是向量内有点，满足，且，则定是等腰三角形在四边形中，且，则四边形为矩形两个向量的夹角的范围是，已知如果与的夹角为锐角......”。

8、“.....又，题型平面向量数量积的运算解析答案思维升华例湖北改编已知点，则向量在方向上的投影为题型平面向量数量积的运算例湖北改编已知点，则向量在方向上的投影为在方向上的投影为解析答案思维升华题型平面向量数量积的运算例湖北改编已知点，则向量在方向上的投影为在方向上的投影为解析答案思维升华求两个向量的数量积有三种方法利用定义利用向量的坐标运算利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件题型平面向量数量积的运算例湖北改编已知点，则向量在方向上的投影为解析答案思维升华解析答案思维升华例已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为例已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为设则所以，解析方法以射线，为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系，则解析答案思维升华例已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为所以故的最大值为方法二由图知，无论点在哪个位置......”。

9、“.....点是边上的动点，则的值为的最大值为当运动到点时，在方向上的投影最大即为，解析答案思维升华解析答案思维升华例已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为求两个向量的数量积有三种方法利用定义利用向量的坐标运算利用数量积的几何意义本题从不同角度创造性地解题充分利用了已知条件解析答案思维升华例已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为跟踪训练已知平面向量若则的值为解析由已知得，向量，与，反向即得故在中，若，则的最小值是解析，即在中，若，则的最小值是，解析答案思维升华题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为记向量与的夹角为，题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为又解析答案思维升华，题型二求向量的模与夹角例若平面向量与平面向量的夹角等于，则与的夹角的余弦值为故，即与的夹角的余弦值是解析答案思维升华......”。