1、“.....种是纯向量式，另种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化，在解题中应注意与方程函数等知识联系已知向量且与共线，那么的值为则等于答案解析与共线即由解得，故则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点,求利用数量积的坐标表示求模与夹角思路分析设则，即向量的模等于它的坐标平方和的算术平方根若则所以所以的实质是......”。

2、“.....即线段的长度，这是向量模的几何意义求角的问题，可转化为利用向量的夹角运算公式求解规范解答由得，设与所成角为，则其中,故，所以规律总结求向量与的夹角的步骤计算利用夹角公式计算根据范围，确定夹角的大小已知向量，若，求与的夹角解析依题意，设而，设与的夹角为，则，与的夹角为向量平行与垂直的坐标形式的应用在中，设且是直角三角形，求的值思路分析是直角三角形，故可以用⊥⇔......”。

3、“.....故要分类讨论规范解答若，则⊥，于是，得若，则⊥又，则，即向量的模等于它的坐标平方和的算术平方根若则所以所以的实质是，两点间的距离，即线段的长度，这是向量模的几何意义求角的问题，可转化为利用向量的夹角运算公式求解规范解答由得，设与所成角为，则其中,故，所以规律总结求向量与的夹角的步骤计算利用夹角公式计算根据范围，确定夹角的大小已知向量，若，求与的夹角解析依题意......”。

4、“.....设与的夹角为，则，与的夹角为向量平行与垂直的坐标形式的应用在中，设且是直角三角形，求的值思路分析是直角三角形，故可以用⊥⇔，但题中未明确哪个角是直角，故要分类讨论规范解答若，则⊥，于是，得若，则⊥又故，得若，则⊥，故，得故所求的值为或或规律总结充分利用公式⊥⇔⇔，利用向量数量积的坐标表示，使两向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用设向量若与垂直......”。

5、“.....与垂直，直线的方向向量及应用已知两条直线其中为实数，当这两条直线的夹角为时，试求实数的值思路分析给出直线，由直线的方向向量与直线平行，两条直线的夹角问题即转化为两向量夹角问题规范解答由题意，设直线的方向向量为直线的方向向量为，设两直线的夹角为，则，由于两直线的夹角为，故，解得规律总结通过直线的方向向量研究直线的夹角......”。

6、“.....在本题的求解中，不要将中的绝对值符号漏掉，否则容易引起结果错误已知直线和直线，求直线和的夹角解析任取直线和的方向向量，和，设向量与的夹角为从而，即直线和的夹角为易错疑难辨析已知向量若与的夹角是锐角，求的取值范围错解因为，的夹角是锐角，故，即，即，又则即时事实上当时，它们间的夹角是，不是锐角，故正解因为，的夹角是锐角......”。

7、“.....则且，即且，所以的取值范围是且规律总结两向量的夹角的范围是，而此时当为锐角，此时当为钝角，此时，若理解不清，往往导致错误成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版必修平面向量第二章平面向量数量积的坐标表示第二章课堂典例讲练课时作业课前自主预习易错疑难辨析课前自主预习数字化是当前社会的最大特色，任何件事物都被数字化了，当然这里的数字化强调的是数码......”。

8、“.....它解决了几何中与度量相关的角度长度距离等问题，向量的坐标运算又是如何展示这些问题的呢平面向量数量积的坐标运算设与的夹角为，则若⊥，则直线的方向向量给定斜率为的直线，则向量，与直线共线，我们把与直线共线的非零向量称为直线的方向向量已知平面向量且⊥，则等于答案解析⊥，即解得故选答案解析由，得，解得，故选已知向量，若，则已知则向与的夹角为答案解析设，的夹角为......”。

9、“.....且，则答案解析，已知那么，答案解析,课堂典例讲练已知向量与同向，求向量的坐标若求思路分析根据与共线设出的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得的坐标，进而求平面向量数量积的坐标运算规范解答与同向，且又规律总结向量问题的处理有两种思路，种是纯向量式，另种是坐标式，两者互相补充，通过向量的坐标运算可实现向量问题的代数化......”。