1、“.....分形词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则支离破碎等意义，分形几何学是门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。据曼德勃罗教授自己说，词是年夏天的个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词，对应的拉丁文动词是破碎产生无规碎片。此外与英文的碎片分数及碎片具有相同的词根。在年代中期以前，曼德勃罗直使用英文词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的，本意是不规则的破碎的分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管......”。

2、“.....它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。分形的定义分形的研究对象分形理论所研究的对象主要是复杂的不规则几何形态。正如前文所述，具有复杂结构的形体与现象在大自然中无处不在，因而人们也说分形是大自然的几何学，分形是处处可见的。分形的数学定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义满足下式条件的集合，称为分形集。其中，为集合的维数或分维数，为其拓扑维数。般说来，不是整数，而是分数。这就是曼德尔布罗特最初的定义。考虑到对普遍的规则几何对象，所以，后来把分形定义成使不等式成立的几何对象。集合的拓扑维数总是非负整数点是维，线是维，面杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计是维，于是国内常常采用分数维这说法，实际上，非整数维比分数维的说法稍好些，因为豪斯道夫维数常常是无理数。部分与整体以种形式相似的形，称为分形。自相似集是研究得最多最透彻的类分形集。这类分形集的特征是局部与整体相似。换句话说......”。

3、“.....按集合论的语言若个有界集合，包含个不相重叠的子集，当其放大或缩小倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集是分开集，换句话说，具有自相似性的系统叫做分形。当放大或缩小的倍数不是个常数，而必须是的各种不同倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合，具有自仿射性的系统也叫做分形。分形的性质描述定义然而，经过理论和应用的检验，人们发现上述两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出个确切的定义，正如生物学中对生命也没有严格明确的定义样，人们通常是列出生命体的系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。即不寻求分形的确切简明的定义，而是寻求分形的特性，按这种观点，称集合是分形，是指它具有下面典型的性质具有精细结构，即在任意小的尺度下，它总有复杂的细节。是不规则的，其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述。传统的几何语言，如欧几里德几何语言......”。

4、“.....对分形这种处处不连续或处处连续但又处处不光滑的图形是无法测量和描述的。通常具有自相似形式，这种自相似可以是近似的或是统计意义的般情况下，在种方式下定义的分形维数大于它的拓扑维数这是曼德勃罗于年为分形所下的定义。分形维数是度量分形集复杂程度的个量，它可以是整数也可以是分数或小数。而拓扑维数值恰恰是与组成分形的基本单元的欧氏维数值相同，那么分形维数大于它的拓扑维数，正好说明了分形用传统几何学来度量的话，它是个无限集，是个趋向无穷的集合。在大多数情形下，以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。分形的貌似复杂的解雇，其实是利用非常简单的规则反复迭代生成的。就像曼德尔布罗特集这个被称为数学中最复杂的集合对象的分形，在电脑中只需要二三十个语句的程序就可生成，而它的规则也简单的令人吃惊只不过这里的和都是复数。另外，还应该注意到，分形是自然形态的几何抽象，如同自然界找不到数学上所说的直线和圆周样......”。

5、“.....从背景意义上看，说分形是大自然的几何学是恰当的。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计分形的性质自相似性分形具有粗糙和自相似的直观特点。个系统的自相似性是指种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理化学天文学生物学材料科学经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，中定义递归次数作为递归出口。创建完函数后在命令窗口如下代码，即可获得如图所示分形图形。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计图曲线曲线是对条线段进行如上递归所生成的图形......”。

6、“.....由于递归的过程已经确定，递归函数也已经由上面的过程而存在，我们只需另建个函数，建立个正三角形的基元，再对其每条边进行递归则能生成雪花图形。如图中时所示，即雪花的基元。程序的输入数据位用于表示线段端点坐标的两个虚数，以及作为递归终止条件的递归出口，即递归次数。首先我们必须用输入的数据来确定基元。则我们需要求出另外个未知点点坐标。同样我们选用前面多次使用的旋转延伸的方法来确立，我们用来表示点坐标，具体确立语句为。之后则使用语句连线。完成连线后则对基元的三条线段分别进行曲线的递归运算，也就是在函数中调用上个曲线的函数，之后则重复递归调用该函数，最终生成雪花。具体图形如图。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计图雪花基于递归算法自建基元的分形图形仿真在利用递归算法对几种经典分形图形进行仿真之后，我渐渐也能够掌握些分形图形的生成机制，也感叹分形图形的瑰丽。于是我尝试模仿曲线与分形树的生成方式，自己创造基元来生成分形图......”。

7、“.....分形图形源于各个基元，基元不同，产生的分形图也是形态各异。在模仿分形树图形生成的时候，我改变了原来的基元，我分别删除了，和得到如图的两个新的基元并对他们进行递归，同时我去除了对主干部分的递归，最终得到了两个新的分形图。形状上就如同在风中被吹弯了腰的树木。因此在世纪应用中，我们也可以根据自己的不同需求，改变基元，从而得到自己所需要的分形图。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计图改变后的分形树我还对曲线做了模仿，同样的我也改变了基元。我将原来突起的正三角形部分改变为正方形。具体基元如图所示。在仿真阶段，输入数据为表示线段两个端点坐标的两个虚数，以及作为递归终止条件的递归次数。基元的生成方面，首先求得两个三等分点，的坐标，分别用虚数，表示。计算如式之后定义个偏转角，并使用延伸偏转的方法确定正方形的另外两个端点，。如则是用来确定点的坐标的，次类推。得到两点坐标后进形连线，生成基元......”。

8、“.....杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计图自建基元分形图另外我还对雪花做了些改变，以下下便是改变后产生的图形。杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计图模仿雪花分形图仿真分析在仿真过程中，代码多数为自己编写的，经历了多次失败再总结，得到了些许经验。在我所仿真的分形图中全部使用了递归算法，图形起于基元。而且这些基元基元是由条线段开始，进行些构造。在构造基元时，对于原线段外的点的坐标的确立的方法上，我们虽然可以通过原线段端点坐标，根据该点与线段的关系，进行简单数学运算得出，但是该运算过程在程序中将被递归调用，运用于之后递归产生的所有新线段，由于该数学运算只适用与原线段的摆放水平或竖直，后之后产生的线段并非都与之相同，所有我们采用程序语言，以线段上的个基础点进行延伸，角度偏转来的到，这种方法适应用后面任何线段。对于递归出口的设定，我在我的程序中用了两种方法......”。

9、“.....并通过实际需求，对他赋予个常数值。由于在使用递归算法生成分形图的过程中，是对线段进行递归调用，而且分形图在递归加深后，会变得越来越细致，各个线段也会越来越短。所以我们可以在程序中使用语句给定个条件，使在线段长度大于是进行递归调用，否则停止递归，并输出。这样我们就得到了递归出口，不足之处就是当我们需要改变递归出口时，需要在程序中进行修改。第二种方法则是直接在函数的输入中给定个递归次数，作为函数杭州电子科技大学信息工程学院本科毕业设计的个变量。之后在每次使用递归调用的时候，对的值进行减处理，最后为则递归结束。这样我们就可以在输入时决定线段端点变量时同时输入递归次数，同样如果需要改变它，也只要在输入变量时改变，则能得到不同的分形图。在程序中采用递归算法大大缩短了程序的长度，使得本来需要重复多遍的语句通过简单的递归调用便可实现。这为程序的编写带来了便利，同时递归的特性符合分形图的性质......”。