1、“.....并且有定的随机性。有阻尼单摆的振动在有阻尼的情况下，单摆的运动方程为式中为不存在阻尼是系统的固有频率，称为阻尼系数。该方程的解分三种情况欠阻尼状态当阻力很小，以致，由式可求出单摆此时的运动方程为其中而周期，，很显然，即弱阻尼情况下单摆振动周期变长，如图所示。上式说明，当阻尼不大时，系统仍做周期性振动，但振幅系统不再具有振动特性随时间按指数衰减。过阻尼状态如阻力很大，以致，根据微分方程的理论可知方程的解为其中和是由初始条件决定的常数。上式表明，随时间的推移单摆单调趋于平衡位置，单摆的振动不仅是非周期的，甚至不是往复的。所以过阻尼振动状态下，系统不可能发生振动，而是更为缓慢的逼近平衡位置，如图所示。临界阻尼状态如阻尼界于前两者之间，且，此时，所以周期......”。

2、“.....阻尼的作用使物体刚回到平衡位置，速度即变为零，不可能在越过平衡位置而发生振动，如图所示。图单摆阻尼运动三种情况的比较考虑空气阻力时大角度单摆的运动当考虑空气阻力及单摆运动的角度较大，单摆在收受到阻力驱动力下由牛顿第二定理可知运动学方程为公式中为阻尼系数，固有频率公式在没有驱动力的情况下可以转化为在大角摆的情况下可以按级数展开当时所以如果的取值范围在时，该级数是收敛的，我们后面的讨论也是在的范围内进行的，这样可以省略式次方以上的项，得到,将式代入式中得已有文献得到在大角度和有阻尼时单摆的运动方程的解析式为对式求阶和二阶导数式中的,......”。

3、“.....它们在,取值，故在误差范围内误差比较小，可以近似得到分别将式和式代入式近似得到又因为将式代入式进行近似得到然后将及式起代入式可得到式两边同时除以式可得整理式可得又由周期，可以得到在考虑空气阻力下大角度单摆的周期为在理想情况下单摆的周期为在考虑空气阻力时大角度单摆的周期与理想情况下单摆的周期的比值为从公式我们可以定性的分析此结果的正确性，理想情况下不考虑空气阻力，，而我们考虑的是有空气阻力，且......”。

4、“.....,可知和的指数函数取右端的部分，它们在,取值，故在误差范围内误差比较小，可以近似得到分别将式和式代入式近似得到又因为将式代入式进行近似得到然后将及式起代入式可得到式两边同时除以式可得整理式可得又由周期，可以得到在考虑空气阻力下大角度单摆的周期为在理想情况下单摆的周期为在考虑空气阻力时大角度单摆的周期与理想情况下单摆的周期的比值为从公式我们可以定性的分析此结果的正确性，理想情况下不考虑空气阻力，，而我们考虑的是有空气阻力，且，这样我们得到的周期应该比理想情况下大，而，说明在考虑空气阻力，且时得到的周期应该比理想情况下大......”。

5、“.....同样当我们进步考察个受周期性驱动力作用的阻尼单摆时，则进步发现虽然系统仍具有确定的运动方程，但在定的初始条件下，其解具有完全不可预测的随机性。研究的结果告诉我们当个振动系统不再是简单的线性系统，即运动方程不再是简单的线性方程时，这系统的运动形式将不再是唯确定的，有时甚至是完全不可预测的，表现出运动的随机性。这种由于系统本身的非线性性质给系统运动带来的不确定性不仅对振动系统是这样的，而且对于任何个确定性运动系统都是如此。确定系统中的内在随机性上面所指出的是非线性单摆，无论是单摆还是受周期性策动力和阻尼作用的单摆，描述它们运动的方程都是确定的。也就是说支配整个系统运动的因素是有严格确定的规律的，系统完全不存在随机力的作用。然而就是在这些确定的系统中，决定性的规律能产生随机行为按定的规律运动的物体，经过时间的演化过程便会产生出完全不可预测的极为复杂的结果来......”。

6、“.....这是由简单规律反复作用而形成的复杂的不可预测的现象，是决定性规律产生的随机行为。换句话说，这是由于系统的非线性性质所引起的，与外界施予的各随机因素无关。我们把这种由于决定性系统本身的非线性性质所产生的运动随机性称为确定系统的内在随机性。结论单摆在小角的情况下单摆的线性运动具有简谐振动的特征，单摆的振动也就成为最简单的简谐振动。但当摆角可取任意值时，单摆的运动方程不再是线性的，其所描述的运动也不再是简单的简谐振动。本文推出了单摆在阻尼作用下和大角度单摆的运动学方程的近似解，从而将其运动学方程用数学方法来简化，运用导数和微分的方法来计算单摆的运动学方程，通过严格的数学推导得到其周期，当然近似解与精确解相比还存在定的误差，这也是今后需要努力改进的，有待于我们进步的研究。从整个自然界来讲，我们实际上生活在个非线性的世界中，以往只是由于认识手段和认识水平的限制才使我们对非线性的规律知之甚少......”。

7、“.....以使人类对自然界和社会的认识迈向新的高度。非线性理论涉及许多高度复杂的数理理论，所以在这里只能用最简单的方法来介绍单摆的非线性振动理论及些基本的规律，对其进步的学习还有待于更雄厚的数理基础。参考文献朱峰大学物理北京高等教育出版社，曹刚，任晓荣，王贵珍，等单摆的非线性振动山东轻工业学院报熊化高，陈浩有阻尼单摆的冲击波解大学物理肖波齐考虑空气阻力时大角度单摆的周期研究陕西科技大学报漆安慎，杜婵英力学第二版北京高等教育出版社，陈在锋浅析单摆的非线性新乡师院高等专科学校学报何松林弱阻尼非线性单摆的周期研究大学物理刘国越，龚劲涛，吴英，等单摆振动的非谐振和弱阻尼修正绵阳师范学院学报，马文蔚物理学下北京高等教育出版社，吕中荣，刘济科摆的振动分析暨南大学学报周衍柏理论力学教程北京人民教育出版社，陈予恕，季进臣......”。

8、“.....严燕来大学物理拓宽与应用北京高等教育出版社，本科毕业论文学院物理电子工程学院专业物理学年级级姓名刘坤敏论文题目单摆的非线性振动指导教师熊宝库职称副教授年月日学号目录摘要引言单摆的线性振动单摆的非线性振动任意角度时单摆的振动情况有阻尼单摆的振动考虑空气阻力时大角度单摆的运动确定系统中的内在随机性结论参考文献单摆的非线性振动学生姓名刘坤敏学号学院物理电子工程学院专业物理学指导老师熊宝库职称副教授摘要本文介绍了单摆的线性与非线性振动规律，分析了单摆在大角度和阻尼下的运动，建立单摆的运动方程。运用泰勒级数展开，用大角近似，然后运用导数微分方法计算单摆的运动学方程，研究单摆的运动规律。同时又从单摆的非线性运动讨论了确定系统中的内在随机性。关键词单摆线性振动非线性振动引言单摆是用不可伸长的轻绳悬挂小球质点构成的，如图所示，将小球视为质点，它受重力与悬线拉力的作用，质点在沿铅直面内沿圆弧摆动......”。

9、“.....通过对小球做受力分析可知质点沿运动方向所受的力为。图单摆单摆的振动是物理学中的个重要问题。在大学物理的力学教学中都要研究单摆，解决单摆问题的关键是建立物理模型，而单摆模型是讨论和处理有关单摆运动必不可少的要素，尤其是对于单摆的运动周期。由于单摆或者类似单摆的运动都是在定环境中进行，在运动的过程中或多或少会受到阻力的作用，而我们平常所看到的很多对单摆的研究都基于小角情况下的，因此具有定的局限性。在小角情况下，般在的情况下考虑，过于简单和理想化，而很多情况下单摆的摆角都大于，单摆的运动也不再是最简单的简谐振动。近年来，人们对非线性物理越来越感兴趣。单摆的线性振动单摆如图所示，若忽略空气阻力，单摆的运动方程为其中为转动惯量，当单摆作微小振动是，摆角很小，取。则将带入上式，得令，有则式的解为。其中，为角频率，,为周期......”。