1、“.....则画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共个交点，故选，即，变形得，令变形得，即表示以，为圆心，为半径的圆的上半圆如图表示斜率为，纵截距为的平行直线系如图设与圆相切的直线为，其倾斜角为，则有，要使在，时恒成立，则所表示的直线应在直线的上方或与它重合，故有，的范围为误区警示作图时弄清的图象何时超过......”。

2、“.....其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数，然后在同坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方于是，，，从而，即⊥同理......”。

3、“.....平面的个法向量为，则得，可取，又，于是，又，即直线与平面所成角的取值范围为，应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角线面角二面角，位置关系中的平行垂直及点的空间位置其般思路是尽量建立空间直角坐标系......”。

4、“.....往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，再结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口如图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的点，试确定，使得直线与平面所成角的正切值为在线段上是否存在定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于并证明你的结论解析建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，又由......”。

5、“.....则依题意有，解得故当时，直线与平面所成角的正切值为若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则，依题意，对任意的要使在平面上的射影垂直于，等价于⊥⇔⇔⇔即为的中点时，满足题设要求数形结合是解决许多数学问题的重要方法......”。

6、“.....用最简单的办法解决问题为最终目的随堂讲义专题九思想方法专题第二讲数形结合思想数形结合作为种重要的数学思想方法，已经渗透到数学的每个模块中，在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法无论是选择题填空题还是解答题，都可以用数形结合的思想去分析思考......”。

7、“.....借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法例已知函数满足下面关系当，时，则方程解的个数是个个个个设有函数和，已知，时恒有，求实数的取值范围思路点拨在同坐标系中画出和的图象......”。

8、“.....然后在同坐标系中分别作出函数和的图象，移动的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系解析由题意可知，是以为周期，值域为，的函数又，则画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共个交点，故选，即，变形得，令变形得，即表示以，为圆心，为半径的圆的上半圆如图表示斜率为，纵截距为的平行直线系如图设与圆相切的直线为，其倾斜角为......”。

9、“.....要使在，时恒成立，则所表示的直线应在直线的上方或与它重合，故有，的范围为误区警示作图时弄清的图象何时超过，否则易造成结果错误用函数的图象讨论方程特别是含参数的指数对数根式三角等复杂方程的解的个数是种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数......”。