是个递增数列，又因为通项公式知该数列是个递增数列，又因为通项公式，可以看作是关于的二次函数，考虑到∈，所以分温馨提醒本题给出的数列通项公式可以看作是个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数的取值范围，使问题得到解决在利用二次函数的观点解决该题时，定要注意二次函数对称轴位置的选取易错分析本题易错答案为原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数方法与技巧若递推关系为或，则可以分别通过累加累乘法求得通项公式，累加即利用恒等式„，通过求和求通项累乘是利用恒等式„求通项数列与函数与的关系数列是种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性，失误与防范数列是种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，定要注意自变量的取值，如数列和函数的单调性是不同的数列的通项公式不定唯在利用数列的前项和求通项时，往往容易忽略先求出，而是直接把数列的通项公式写成的形式，但它只适用于的情形组专项基础训练时间分钟设数列数列的前项由如图所示的流程图依次输出的值构成，则数列的个通项公式∈，答案解析由流程图，知，„即„，题型利用观察法求通项公式例写出下列数列的个通项公式，„，„，„解原数列可改写成„故其通项公式为这个分数数列中分子分母的规律都不明显，不妨把分子变成，然后看分母，从而有„，分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为注意到此数列的特点奇数项与项数相等，偶数项比项数大故它可改写成„，所以原数列的通项公式为思维升华观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键由数列的前几项归纳出的通项公式不定唯如数列，„的通项公式可为∈，也可为∈已知数列的前几项，写出数列的通项公式时，要熟记些特殊数列，如等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式„，„„„解不看符号，数列可看作自然数列的倒数，正负相间隔用的次幂进行调整，通项公式数列可化为，„，即，„每个根号内可看作与的乘积通项公式数列的每项可看成两数之差，前数是自然数的倒数，后数为，通项公式数列中的奇数项为，偶数项为通项公式，为奇数为偶数此数列还可以这样考虑，与的算术平均数为，加便是，减便是，而加与减也就是因此数列的通项公式还可以写成题型二利用递推关系式求命题点利用迭加法求例已知数列满足，求的通项公式解由已知，令分别取，„，得，„，以上个式子相加，得„，时，命题点利用迭乘法求例在数列中，求数列的通项公式解由取，„，角相等从起跳到着地三段运动的时间相等从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大如图所示，挡板垂直固定的水平风力作用，地面水平无杂物无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，以上各式相加得„在数列中，已知求解由题意知，所，∈，则数列的通项公式为答案解析由题意得，„是出现分子分母相抵消的情况若，可构造等比数列，从而求若，可构造为等差数列，从而求数列中，的递推公式为型时，并且容易求和，这时可采用迭加法如果数列的递推公式为型时，并且容易求前项的积，这时可采用迭乘法迭乘的目的，即于是，所以，即又，所以的通项公式为思维升华如果给出数列是等差数列求的通项公式证明由得，即又，所以是首项为，公差为的等差数列解由得，即当时，适合上式故∈命题点利用构造法求例大纲全国数列满足设，证明，„把上述各式两边分别相乘，得„„，，，„把上述各式两边分别相乘，得„„，，，又，所以是首项为，公差为的等差数列解由得，即当时，适合上式故∈命题点利用构造法求例大纲全国数列满足设，证明，„把上述各式两边分别相乘，得„„，，，„把上述各式两边分别相乘，得„„，，，即当时，适合上式故∈命题点利用构造法求例大纲全国数列满足设，证明是等差数列求的通项公式证明由得，即又，所以是首项为，公差为的等差数列解由得，即于是，所以，即又，所以的通项公式为思维升华如果给出数列的递推公式为型时，并且容易求和，这时可采用迭加法如果数列的递推公式为型时，并且容易求前项的积，这时可采用迭乘法迭乘的目的是出现分子分母相抵消的情况若，可构造等比数列，从而求若，可构造为等差数列，从而求数列中∈，则数列的通项公式为答案解析由题意得，„把以上各式相加得„在数列中，已知求解由题意知，所以，„把上述各式两边分别相乘，得„，„又适合上式，镇江模拟在数列中，已知求其通项公式解由题意知，又≠，数列是以为首项，为公比的等比数列题型三利用求例设为数列的前项的和，且∈，求数列的通项公式解，当时解得当时得，当时，数列是以为公比的等比数列，且首项时显然时也成立故数列的通项公式为∈思维升华已知数列的前项和公式，求数列的通项公式，其方法是这里常常因为忽略了的条件而出错，即由求得时的是从开始的自然数，否则会出现当时而与前项和定义矛盾可见所确定的，当时的与相等时，才是通项公式，否则要用分段函数表示为，已知数列的前项和为，满足∈求数列的通项公式若数列满足，而为数列的前项和，求解当∈时则当，∈时得，即当时则，当时是以为首项，以为公比的等比数列，由，得，则„，„，④④，得„，用函数的思想解决数列问题典例分数列的通项公式是若，则数列中有多少项是负数为何值时，有最小值并求出最小值若对于任意∈，都有，求实数的取值范围思维点拨求使的值从二次函数看的最小值数列是类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式在上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中的取值规范解答解由知该数列则运动员从点开始起跳到点的整过程中均在竖直平上移，电流表示数不变滑键向方向移动，滑键不动，电压表示数增大滑键不动，滑键上移或下移，电压表示数始终不变三级跳远是速度力量和平衡能力的结合设运动员在空中运动过程只受重力和沿跳远方向恒如图所示为自耦变压器，保持电阻和输入电压不变，以下说法正确的是滑键向方向移动，滑键下移，电流表示数减小滑键不动，滑键从直线上的点沿着线射入磁场，离子重力不计，离子恰好不能从右边界穿出且在时恰好返回左边界，则图乙中磁感应强度的大小和离子的初速度分别为如图甲所示，是宽为的两竖直线，其间存在垂直纸面方向的磁场未画出，磁感应强度随时间按图乙所示规律变化垂直纸面向外为正，为已知，现有个质量为电荷量为的离子在时平射入电场，刚好紧贴板射出，如图所示在其它条件不变的情况下，仅将板向下平移段距离，或仅将电压减小，带电粒子均刚好从两板右侧中央射出不考虑重力的影响，则正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在时间内，能正确反映流过导体棒的电流与时间关系及外力与时间关系的图线是水平平行放置的金属板间加上恒定电压，两板间距离为带电粒子紧贴板水强磁场的磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示规定向下为的正方向，导体棒垂直导轨放置，除电阻的阻值外，其余电阻不计，导体棒在水平外力的作用下始终处于静止状态规定的方向为电流的正强磁场的磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示规定向下为的正方向，导体棒垂直导轨放置，除电阻的阻值外，其余电阻不计，导体棒在水平外力的作用下始终处于静止状态规定的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在时间内，能正确反映流过导体棒的电流与时间关系及外力与时间关系的图线是水平平行放置的金属板间加上恒定电压，两板间距离为带电粒子紧贴板水平射入电场，刚好紧贴板射出，如图所示在其它条件不变的情况下，仅将板向下平移段距离，或仅将电压减小，带电粒子均刚好从两板右侧中央射出不考虑重力的影响，则如图甲所示，是宽为的两竖直线，其间存在垂直纸面方向的磁场未画出，磁感应强度随时间按图乙所示规律变化垂直纸面向外为正，为已知，现有个质量为电荷量为的离子在度随时间的变化规律如图乙所示规定向下为的正方向，导体棒垂直导轨放置，除电阻的阻值外，其余电阻不计，导体棒在水平外力的作用下始终处于静止状态规定的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在时间内，能正确反映流过导体棒的电流与时间关系及外力与时间关系的图线是水平平行放置的金属板间加上恒定电压，两板间距离为带电粒子紧贴板水平射入电场，刚好紧贴板射出，如图所示在其它条件不变的情况下，仅将板向下平移段距离，或仅将电压减小，带电粒子均刚好从两板右侧中央射出不考虑重力的影响，则如图甲所示，是宽为的两竖直线，其间存在垂直纸面方向的磁场未画出，磁感应强度随时间是个递增数列，又因为通项公式知该数列是个递增数列，又因为通项公式，可以看作是关于的二次函数，考虑到∈，所以分温馨提醒本题给出的数列通项公式可以看作是个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数的取值范围，使问题得到解决在利用二次函数的观点解决该题时，定要注意二次函数对称轴位置的选取易错分析本题易错答案为原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数方法与技巧若递推关系为或，则可以分别通过累加累乘法求得通项公式，累加即利用恒等式„，通过求和求通项累乘是利用恒等式„求通项数列与函数与的关系数列是种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性，失误与防范数列是种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，定要注意自变量的取值，如数列和函数的单调性是不同的数列的通项公式不定唯在利用数列的前项和求通项时，往往容易忽略先求出，而是直接把数列的通项公式写成的形式，但它只适用于的情形组专项基础训练时间分钟设数列数列的前项由如图所示的流程图依次输出的值构成，则数列的个通项公式∈，答案解析由流程图，知，„即„，题型利用观察法求通项公式例写出下列数列的个通项公式，„，„，„解原数列可改写成„故其通项公式为这个分数数列中分子分母的规律都不明显，不妨把分子变成，然后看分母，从而有„，分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为注意到此数列的特点奇数项与项数相等，偶数项比项数大故它可改写成„，所以原数列的通项公式为思维升华观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键由数列的前几项归纳出的通项公式不定唯如数列，„的通项公式可为∈，也可为∈已知数列的前几项，写出数列的通项公式时，要熟记些特殊数列，如等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式„，„„„解不看符号，数列可看作自然数列的倒数，正负相间隔用的次幂进行调整，通项公式数列可化为，„，即，„每个根号内可看作与的乘积通项公式数列的每项可看成两数之差，前数是自然数的倒数，后数为，通项公式数列中的奇数项为，偶数项为通项公式，为奇数为偶数此数列还可以这样考虑，与的算术平均数为，加便是，减便是，而加与减也就是因此数列的通项公式还可以写成题型二利用递推关系式求命题点利用迭加法求例已知数列满足，求的通项公式解由已知，令分别取，„，得，„，以上个式子相加，得„，时，命题点利用迭乘法求例在数列中，求数列的通项公式解由取，„，角相等从起跳到着地三段运动的时间相等从起跳到着地三段运动水平方向速度变化量越来越大如图所示，挡板垂直固定的水平风力作用，地面水平无杂物无障碍，运动员每次起跳姿势不变且与地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，