1、“.....旋转矩阵的第列表示相对于轴的位置，其值为，它表示沿轴的坐标没有改变。为简化书写，习惯用符号表示以及用表示。因此，旋转矩阵也可写为可用类似的方法来分析坐标系绕参考坐标系轴和轴旋转的情况，推导结果为将这三个基本旋转矩阵扩展为矩阵后便得到了齐次旋转矩阵，表示为复合齐次变换复合变换是指系列纯平移与绕轴旋转按照定次序变换的组合。空间的任何运动或者变换都可以分解为组旋转与平移变换的顺序组合。例如，为了进行项运动，可以将坐标系或者刚体先沿轴平移，再绕，轴旋转，最后再绕轴平移。复合变换重要的是个个基本变换的顺序，如果顺序错了，变换的总体效果就会不同。为了推导复合变换表示方法，假定坐标系相对于参考坐标系依次进行了下面三个变换绕轴旋转度接着平移分别相对于轴最后绕轴旋转度。比如点固定在旋转坐标系，开始时旋转坐标系的原点与参考坐标系的原点重合。随着坐标系相对于参考坐标系旋转或者平移时......”。

2、“.....第次变换后，点相对于参考坐标系的坐标可用式表示出来其中，是经过旋转过后相对于参考坐标系的坐标。经过平移过后，该点相对于参考坐标系的坐标可表示为最后，经过最后次旋转过后，该点的坐标为机械臂运动学方程本节主要应用表示法推导出机械臂的运动学方程。表示法是年和在篇论文中提出的种对机器人建模的方法。这种方法简单适用于各种机械臂的构型，对于结构顺序复杂的机械臂构型也无影响。模型可以表示诸如直角坐标球坐标圆柱坐标欧拉角坐标及坐标的变换，也可以表示类型机器人各种链式机器人的数学建模。表示法在当今机器人建模中已经越来越普遍，本文所研究的六自由度机械臂，采用表示法建立运动学方程。机械臂正运动学，是已知各个关节的变量，从而求解得到所期望的末端位姿。将机械臂可以看作由连杆通过关节的移动和旋转串联起来的开式链。在每个连杆上建立坐标系，对这些坐标系间的关系进行描述。在本文中，我用到了算法......”。

3、“.....对于结构顺序复杂的构型也无影响。连杆坐标系般机器人是由多个关节和连杆构成，关节既有呈线性滑动的，也有旋转的，关节与关节之间可能处于任意的位置或者不同平面内。连杆长度可以是任意的，可能存在直线与弯曲状态，各连杆可能不在同平面上。这里需要能够对任意组连杆和关节构成的机器人建模分析。按照上述方法，每个关节可以当做个刚体处理，为每个关节建立个参考坐标系，从确定个关节的姿态位置，根据基本变换推导得到下个关节的姿态位置，以此类推，得到每个关节的姿态位置，最后求得机械臂的末端位姿。将每个关节到关节的基本变换结合起来，就可以得到机械臂的总变换矩阵。本文利用算法，为关节建立参考坐标系，得出每两个相邻关节间的变换矩阵，从而得出总变换矩阵。对连杆建立坐标系如图图通用关节连杆组合的表示为了推导出适用于任意构型机器人总变换方程，假定个机器人由任意多个连杆和关节以任意的形式组成......”。

4、“.....由不在同平面的三个关节和不在同平面的两个连杆构成机器人的部分。这小部分可能不会与实际中的机器人相似，但是它具有代表性，可以表示任何机器人的关节，无论是滑动的还是旋转的。在图中的关节既可以转动也可以平移。为了方便描述，将第个关节指定为关节，中间的指定为关节，最后个指定为关节。这三个关节只是从机器人关节中截取部分类似的，在关节与关节之间的连杆用指代，关节与关节之间的连杆用指代。对机器人建模的第步是为每个关节指定个本地的参考坐标系。表示法，只需要为每个关节的坐标系指定轴和轴，不需要指定轴，因为轴直是垂直于轴和轴组成的平面。下面给出了表示法中指定每个关节参考坐标系的般步骤任何关节都用轴表示，如果是滑动关节，则轴沿关节滑动的直线方向。如果关节是旋转的，则轴为按右手定则旋转的方向。不管是滑动还是旋转，关节处的轴下标为。比如，关节处的轴表示为。根据这些规则，我们可以定出所有关节的轴......”。

5、“.....对于旋转关节的关节变量是绕轴旋转的角度角。如图所示，几个关节并不平行或者相交，属于异面直线。这样，轴是斜线，但在空间中总能找到条距离最短的公垂线正交于这两条异面直线，即正交于相邻的两个轴。我们把轴的方向定义在该公垂线的方向上。所以如果表示与之间的公垂线，则的方向将沿。同样，在与之间的公垂线为，的方向将沿。由于相邻关节可能不在同平面上，这样相邻关节的公垂线也有可能不相交或者共线，原点也就可能不会重合。综合以上的规则，就可以为每个关节定义参考坐标系了。如果相邻关节的轴平行，就可以找到无数条公垂线，为了简化模型，可以挑选与前关节的公垂线共线的条公垂线。如果两个相邻关节的轴是相交的，那他们共面，也就不存在公垂线。这时可以取条垂直于这两个轴构成的平面的直线作为轴。即在两条轴的向量积方向选取条直线轴，模型同样得到了简化。在图中，角表示绕轴的旋转角，即旋转变量......”。

6、“.....般当相邻轴平行时，的值为，表示每条公垂线的长度角表示两个相邻的轴之间的角度。通常，只有和是关节变量。连杆参数机械臂各个连杆中有个参数，可用这个参数对连杆进行描述。是关节轴线之间的距离，即沿轴从到移动的距离是关节轴线之间的夹角，即沿轴从到转动的角度是公垂线之间的距离，即沿轴从到移动的距离是公垂线之间的夹角，即沿轴从到转动的角度如果是滑动关节，是变量，其它三个参数不变如果是旋转关节，是变量，其它三个参数不变。连杆坐标变换本节将推导连杆变换的表达式，需要进行几个连续的变换，将个参考坐标系变换到另个参考坐标系。假定现在处于坐标系，下面通过四步变换转换到下个坐标系。绕轴旋转角度如图与所示，让平行于，介于和同时垂直于轴，这样绕轴旋转就可以使它们平行。接着沿轴平移距离，让和共线如图所示。因为和在前都步已经平行并且垂直于，沿着平移就可使他们重叠。再沿轴平移的距离......”。

7、“.....这时两个参考坐标系的原点重合。最后将轴绕轴旋转，使得轴与轴重合如图所示。这时坐标系和已经重合了如图所示。至此，经过这四步，我们从个坐标系变换到了下个坐标系。仿照上面四个标准步骤，可以同样的将坐标系变换到坐标系中去。按照相同步骤，可以将所有相邻坐标系这样变换。从参考坐标系转换到机械臂基座所在的坐标系，之后到第个关节，第二个，直至到最后。上面的四个步骤具有通用性，所有坐标系之间的变换都可以采用同样的步骤。机器人的变换矩阵可以通过右乘表示上面四个变换的矩阵来得到，矩阵表示四个变换的复合变换。之所以四个矩阵用右乘是因为所有变换都是相对于当前坐标系变换。具体的表达式如式从机器人的基座开始，可以从第个关节开始个个往下变换，直到机器人的手，最终到末端执行器。若把每个变换定义为个矩阵，则可以得到许多表示变换的矩阵。在机器人的基座与手之间的总变换可以用各个分变换矩阵依次相乘由于是六自由度的机械臂......”。

8、“.....通过连杆变换中的四步变换，得出以下机械臂各连杆参数，表机械臂参数关节依照算法原理，可以得到六个坐标变换矩阵的表达式以下个表达式所以得到，机械臂逆运动学已知机器人构型如连杆长度和关节角度，可以根据总变换方程求出机器人手的末端位姿，这是机器人正运动学分析。给出机器人的所有关节变量值，就能根据总变换方程算出机器人任何时候位姿。在实际工作中，往往希望机器手臂末端到达个期望位置去执行项动作，这时就得根据已知位姿，算出机器人各关节需要旋转的角度，这就是机器人逆运动学。即这里不会将各关节变量代入总变换方程求出位姿，而是找到这些方程的逆，从而求得所需要的关节角度值。实际中，逆运动学比正运动学更重要，机器人控制器根据逆运动学解算出各关节值，以此让手臂到达期望位置逆运动学是根据已知的期望位姿，通过逆阵相消来求得各个关节变量......”。

9、“.....令期望位姿可以得到，和可以得到，和可以得到，所以，本章小结本章主要对六自由度机械臂进行运动学建模。首先描述了空间刚体与坐标系及各种变换的数学表示，应用建模方法推导机械臂正运动学方程，对机械臂进行运动学建模，获得机械臂正运动学方程，再用逆阵相消的方法求出逆运动学方程的解。第四章六自由度机械臂的避障路径规划机器人要完成项任务，需要预先设计它的操作指令行动顺序运行过程等。在机器人研究领域，轨迹规划是指研究解决问题的方法。本文研究机械臂从个初始状态出发，根据任务要求及条件约束，设计系列运行步骤，使之运动到解决该问题的目标状态。本章主要在前章机械臂运动学基础上讨论机械臂的避障路径规划。无障碍路径规划无障碍路径规划通常是用多项式函数内插或者逼近方法，在机械初始位置与目标位置之间设定些路径，并在定时间序列下设定控制点，让机械臂按设则保留进入第七步满足个则保留个，若都不满足令......”。