1、“.....现在可知基于法的基桩受力分析基本微分方程为其中为地基比例系数，为微元截面至土层顶面的距离，为桩的计算宽度，其中单位均为。那么对于微分方程的幂级数解答如下，设桩身水平位移为计算截面至土层顶面距离的幂级数函数为为待定系数将代入中进行比较系数可得通式其中且为整数由此可知幂级数中各系数均可由系数确定，且可知每项系数中所含的指数为，故可以把所有提出来归于......”。

2、“.....,,幂级数在证明不等式中的应用因为些初等函数用幂级数的形式展开，所以，在些不等式中出现了这类初等函数，就可以考虑将其展开为幂级数形式......”。

3、“.....例当时，证明。由般的初等函数的幂级数展开可以知道所以可以推导出，其中所以可得因为，所以得证。,,,,代数学中的形式幂级数迄今为止，幂级数的研究也没有停滞不前，由于幂级数的性质已经日益完善，所以学者们纷纷把研究方向由对幂级数性质的研究渐渐地转向利用幂级数的性质对其他数学领域进行研究，这部分主要讲的是幂级数在代数中的衍生应用。引用了唐万儒普昭年所写的斜幂指数诣环文。对于个自同态环......”。

4、“.....不仅给出泛化后的大量性质，而且对其的展开也进行了研究,推广了环和幂级数诣环的相应结果。斜幂指数诣环定义设是环的自同态,为幂级数诣环，如果当，满足，然后对于任意的和都有命题设是幂级数诣环。对于，则具有以下性质如果，然后对任意正整数都有如果对于些正整数有，则如果对于些正整数有，则引理设是个环。那么有如下结论每个幂级数诣环都是半交换的。如果是个幂级数诣环，那么是单射的且对于任何都有设是个幂级数诣环，其中，如果，则对于些正整数都有设是个幂级数诣环，其中，如果对于些正整数都有，则引理是个环，是的自同态......”。

5、“.....对于任意的都有，并且是的理想情况，则是幂级数诣零。定理如果是个幂级数诣环，则是幂级数诣。,,,,,,,,引理让是个幂级数诣环且，如果在的条件下，则，其中中的系数对应着引理设是个幂级数诣环。如果，则对于任何都有如果，则如果，则命题如果是个幂级数环......”。

6、“.....由命题，引理和命题，我们可以很容易得到下面的结果定理设是环的个自同态。然后如果当且仅当是的理想情况则是幂级数诣，并且对于任何都有适用于命题设是环的个自同态并且是的个理想情况且满足。如果并且是幂级数诣，然后是幂级数诣。定理设是个环的自同态。然后再下列条件下是的等价的。是幂级数诣是幂级数诣是幂级数诣是幂级数诣多项式环设是个环，已知如果无论何时，都是半交换的，则对于任何都有命题幂级数诣环都是半交换的引理设是个幂级数诣环，则......”。

7、“.....,定理设是幂级数诣环，满足，则是零半交换的。定理设满足条件的是个幂级数诣环。如果对于些正整数都有则是个幂级数诣环。就当前的幂级数研究方向来看，对幂级数本身的研究已经非常透彻了，现今学者都是利用幂级数的性质，对数学或者其他领域进行扩展研究，因为幂级数简单多样的性质，导致在很多领域中均能利用得到，随着时间的推移，幂级数还能再更多的领域中发挥更好的作用......”。

8、“.....结论本文主要是举例对幂级数的应用进行讨论和说明，由于现今幂级数的应用这课题已经成了个体系，并且有很多的学者都对此有着深入的研究，所以此文难免有些内容与前人的研究有些重复，望各位专家教授老师同学理解。文章首先介绍了幂级数的起源和研究意义，然后对幂级数的定义和性质进行介绍和证明。正文部分对幂级数的应用予以归类举例，分别对近似计算级数求和求极限求导积分运算求解微分方程证明不等式等几个方面举例，并在例子前后对例子需要的性质和方法进行说明......”。

9、“.....总之，幂级数的应用是多元化的，文章尽可能完整地总结了幂级数在数学各分支以及其他学科中的应用并分析介绍了其发展现状，这样对于理解幂级数的性质并加以应用拓展具有很重要的意义。所以将部分常见实用的幂级数的应用列举出来，分别归类，予以总结。这样能更好的理解幂级数的性质和应用，这才是这篇文章的初衷。参考文献张淑辉,幂级数的应用太原教育学院学报第卷，朱明星，幂级数的应用中国科技信息年第期，袁炜，贺欣,幂级数在函数方面的应用郑州铁路职业技术学院学报年月卷第二期......”。