1、“.....假设函数是图的边集到集合，的映射。如果对任意都有成立的话，则称为图的符号边控制函数。同时在关于图的所有符号边控制函数中，得到的最小值，称作为图的符号边控制数，记为。同理，若用开邻域替闭邻域，我们得到图的符号全控制数的定义，我们把它记为。在这篇论文中研究的对象是树。数表示的星图，路径，或者毛虫树的符号边控制数。此外还有表示个长度为的圈的控制数。树满足不等式条件是确定的。对于给定边数，和给定符号边控制数的树，已经证明了它的存在性定理。最后......”。

2、“.....关键字树，符号边控制数，符号全控制数，在这里我们考虑的都是没有自环和没有重边的有限无向简单图。图的边集记为且顶点集记为，图的两条边，称为邻边，如果他们是有个共同顶点的两条不同的边。对于边的开邻域表示的是与边相邻的所有边组成的集合。它的闭邻域则为。如果我们考虑映射，且当，我们记。个映射，称为关于图的符号边控制函数或全符号边控制函数，华东交通大学毕业论文如果或分别成立对任意条边都成立。同时在关于图的所有符号边控制函数或全符号边控制函数中，得到的最小值......”。

3、“.....关于符号边控制数在文献有介绍且记为。图的符号全控制数记为。符号边控制函数简记为，全符号边控制函数简记为，的值是随边控制数的变化而改变的个边变量。另外还有种有关图的控制数。是个边集合映射到图的个函数，当的每条边都在中时或者邻接于时，图的边集的子集称为中的边控制数若称是图的边控制函数，当的每条边都在中或者邻接于。在图边控制集合中最小的边集数目就称为图的边控制数，记为。接下来我们研究的和都是关于树的结论。引理假设图有条边那么证明假设是的个，且......”。

4、“.....我们有同时，，因此，故结论成立。引理若是树的个顶点，且是的个悬挂顶点的两个邻接顶点分别是定义为的则有证明我们知道，且故结论成立。引理若是个星图，它含有条边，当为奇数时，，当为偶数时，证明在星图中所有的边都连接在起，因此对任意条边都成立若是的，则有，故设表示图中刘峰关于图的边控制数的边数，那么如果为奇数时，我们可以取个函数使得满足，因此有如果为偶数时，也是偶数我们可以选择个函数使得，因此当，则的邻域子树......”。

5、“.....和的边集构成的图。若是的条悬挂边，那么是以边的个顶点为中心，且中心度数大于的星图。这就得到了包含边且直径为的最大生成子树，相反地是以边为中心且直径为的最大生成子树。把所有的生成子树其中构成的集合记为定理在树中存在个的子集，满足所邻接的树的并是，则有证明令是中的边集，对任意条边，则集合是边的邻域集，且所有集合的并是因此是的个边控制集因此有令，是的个所以由于中的树是关联，我们有如下结论我们已知对任意个树都成立，所以有如下推论......”。

6、“.....我们有成立。表示长度为的路径，也就是说含有条边以及个顶点的路径。则表示长度为的圈。定理对于路径，它的符号边控制数有如下结论华东交通大学毕业论文证明令是路径的则，取，很明显对中任意条边必须至少邻接两条中的边，且中的任意条边至多只能邻接中的条边。据引理可知，的端点和的边之间至少含有两条中的边，同理两条中的边之间至少含有两条中的边。因此且如果我们选择中的个端点开始对其边标号......”。

7、“.....当且仅当边的序号数能被整除，且小于时，令这时有，且它就是这个数值对对模值分开表示，则得到定理给出的形式。令方面我们来考虑圈的情况，证明方法十分类似于定理定理对于圈，它的符号边控制数有如下结论下面我们来考虑毛虫树把毛虫树的所有悬挂边删除后得到的是条路径也就是说，得到的这条路是毛虫树的主干。毛虫树的些个别情况包括星图和路径。另的主体顶点标记为，和边，令，为顶点上的悬挂边的数目。有限序列决定了毛虫树的唯性。根据定义所知很明显有且若......”。

8、“.....若，，，则它是条路径。刘峰关于图的边控制数定理令为个整数有限序列，且，，，。令表示，中所含奇数的数目则就是由此序列控制的毛虫树，得知证明由这个定理的假设可知的主体中每个顶点至少有条悬挂边令为，中所含的所有边构成的边集。令为的主体中个顶点，当为这个顶点的条悬挂边，则有，且，，故有我们可以这样地定义函数当或，且为偶数时，令中条悬挂边的函数值当或，且为奇数时，令条悬挂边的函数值若......”。

9、“.....令中条悬挂边的函数值若且为奇数时，令条悬挂边的函数值对于的主体中的边总有当或，且为偶数时，则，为奇数时，则当，且为偶数时，则为奇数时，则，所以，故结论成立。我们得出了的个存在性定理引理个具有条边的图，且所有子图中不含有，那么有此证明与引理的证明很相似。引理若在图中所有子图中不含有，且对些边成立，则对所有有这个结论是很明显的。这个引理得出了两个推论。推论对于长度的路径，有推论对于长度为的圈，有华东交通大学毕业论文也就是说......”。