1、“.....如果两个命题之成立，那么另命题也成立。对偶原理是射影几何所固有的，它只适用于点线结合性命题仅指平面射影几何。射影几何之所以有对偶原理，是因为射影平面上没有平行线，点和直线的结合关系有了新的变化，两直线总相交，即相交和平行得到完美的统。对偶性的思想也就是要充分发挥对偶原理的功效。运用对偶原理有事半功倍之效。在证明两个互成对偶命题的命题时，可将易于证明的命题先证，然后由对偶原理可知其对偶命题成立。例十如果两个完全四线形的五对对应顶点的连线通过同点，则第六对对应顶点的连线也通过此点，且其四对对应边的交点在同直线上。见图所给命题的对偶命题如果两个完全四边形的五对对应边的交点在同直线上，则其第六对对应边的交点也在此直线上且其四对对应顶点的连线交于点。见图图图在所给原命题中，是用个小写字母表示直线，把点看成直线的包络，这是线几何学的观点......”。

2、“.....则是用个大写字母表示点,直线看成点的轨迹，这是点几何学的观点，是人们比较习惯的观点。因此这两个互为对偶的命题只须证明所给命题的对偶命题成立，由对偶原理知所给命题成立。例十利用对偶原理证明梅涅劳斯定理。分析梅涅劳斯定理如果条直线与的三边或其延长线交于点，那么塞瓦定理设是内任意点分别交对边于则由于三点共线与三线共点，正好是对偶命题问题，因此梅涅劳斯定理和塞瓦定理构成对偶命题，而且在平面射影中，梅涅劳斯逆定理和塞瓦逆定理也构成对偶命题。证明过点作∥交的延长线于，则三式相乘得在欧氏平面几何中，人们常常用梅涅劳斯定理来证明塞瓦定理。现在我们知道，若梅涅劳斯定理获得证明，那么塞瓦定理自然成立，用不着再证明，这就达到简化证明的效果。但却称该法为丑陋的证明。他认为虽然这个证明稍微简单些，它却不能令人满意......”。

3、“.....它和要证明的命题的内容并无关系，还有证明无理地偏爱顶点，而命题关于和的确是对称的。依据对偶原理我们可以发现新命题，而且此新命题无须证明，因为其证明性是对偶原理本身所赋予的，你是我的对偶，我也是你的对偶。对偶原理就像个纽带把点和线联系在了起，从而使我们对点和线又有了更高层次的认识。它们之间的变化是那么微妙，堪称是门美学艺术。二对称思想在微分学中的应用在微分学中也有大量的对称现象存在。如有限与无限，无穷小与无穷大，连续与间断，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现从函数角度看，函数与反函数也可认为是种对称，而且它们的图形在几何上也是对称的从运算关系角度看,微分和积分也可视作是对称关系在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算。定义若函数,中任意两个自变量对调后,仍表示原来的函数,则称函数关于自变量对称。命题若......”。

4、“.....只需将函数关于的偏导数中的与交换位置即可,该结论还可推广到阶偏导数。例十二设函数,，证明证明由于函数关于自变量的对称性，所以,,因此三对称思想在积分学中的应用对称性在积分学中的应用更是极为常见。在定积分重积分曲线积分曲面积分的计算中，如果合理利用对称性在几何中的应用,则可以大大地简化计算,达到事半功倍的效果。利用几何的性质，我们可以更加形象的理解以下的命题。命题二设在,连续，则若，则若，则命题三设积分区域关于轴对特殊的对称，致力于它的研究和发展。数学思想方法是数学中联系各项知识的纽带，也是学生获取知识的手段，它较数学知识有更大的抽象性和概括性，也比数学知识具有更强的稳定性和更普遍的适用性......”。

5、“.....终身受益。现性教材的知识体系是纵向展开的，而数学思想方法蕴涵其中，需要我们去挖掘。数学思想方法与数学思维活动紧密联系在起，它是实现知识向能力转化的中介和桥梁，数学思想方法的教学应贯穿于教学全过程。教师应充分挖掘教材中所体现的数学思想方法，确立渗透数学思想方法的教学目标，并对些重要的数学思想方法进行分解，列出细目，逐步实施同时要突出基本数学思想，般说来，学生对数学思想的掌握需要有个过程，教师应注意反复再现，逐步渗透，把握由低级到高级的螺旋上升过程。学生数学思想的发展水平最终取决于数学思维活动的程度，教师要特别注意营造数学氛围，给学生提供思维活动的素材时机，调动学生参与思维活动的积极性，使他们学会揭示问题所蕴涵的数学思想，让他们亲自去感受领悟，并求得发展，通过自己解决问题的实践过程，反复尝试，不断完善，逐步构建自身的数学思想体系......”。

6、“.....在于即使是学生把教给的所有知识都忘了，但还能获得受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育。对于数学教育，终生受用的东西，理当指数学思想方法。数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。当今社会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题分析问题解决问题评价问题。参考文献华东师范大学数学系几何研究室解析几何习题集上海华东师范大学出版社梅向明刘增贤林向岩高等几何北京高等教育出版社，朱德祥，朱维宗高等几何第版北京高等教育出版社，赵临龙，张小文射影几何中的共点线共线点定理的关系鞍山师范学院学报，邓鹏高等数学思想方法论四川四川教育出版社华东师范大学数学系数学分析第二版北京高等教育出版社上海市高中二年级第学期数学实验本年月版同济大学数学教研室高等数学北京高等教育出版社,后记在做这篇论文的过程中，自己常常感叹知识的不足和贫乏......”。

7、“.....常感到力不从心，由于高等数学是种比较深入的研究领域，它可研究问题很多。比如微分几何非欧几何黎曼几何等好多领域都有研究价值，所以这篇论文还有很多需要补充的地方。本文的完成离不开数学科学学院黄保军教授的热情指导，同时数学科学学院机房的硬件设施和学校图书馆的电子资源，为课题的研究工作提供了良好的条件，另外，本课题的部分工作还得益于同窗挚友的共同研讨，在此，对他们并表示致谢,称在上连续，则若若则其中是中对应于的部分，即,若积分区域关于轴对称,则也有类似的结论。命题四设积分区域关于面对称,在上连续,则,若则若则其中是中对应于的部分。若积分区域关于面或面对称,则也有类似地结论。例十三设是平面上以,和,为顶点的三角形域,是在第象限部分,求解记连结,记围成的区域为......”。

8、“.....则关于轴对称,为在轴右侧的部分。关于轴对称,注意到为的奇函数,为的偶函数,为的奇函数。所以五对称的进步探讨对称思想方法的探讨对称就是事物的合理性。矛盾的对立统，广义对称，还包含着分为二，的观点它也可以看作是广义对称的种表现。指出，世界上切事物都具有两面性。强调在定条件下的比较和转化，等等，如，没有绝对好的事物，也没有绝对不好的事物。好和坏都是有条件的相对的。病根据定条件转化。都在我们的教学和学生的学习过程和思考过程中时时表现出来。如能注意运用，可立即使思考高瞻远瞩。举个例子把块地耕完，用拖拉机完成的快呢还是个人用铁锹来翻快呢很多人会不假思索地回答当然是拖拉机快,这个回答就离开了分为二。如果是在茫茫的北大荒平原上，拖拉机和铁锹比赛，当然拖拉机快，但如果把窗前小块种花的三角地翻完......”。

9、“.....倒不如手那铁锹来翻地更快些了。这就是分为二的观点。它不但再具体的知识学习中帮助我们，而且将指导我们的学习方法工作方法和统筹安排，根据条件全面考虑，并随时调整不要绝对化。对称思想是数学思想的重要部分，每种数学思想都是历史的结晶，每种数学思想的策略和方法是解题经验的归纳与总结，都是数学的发现。并且这条数学发现的道路永无止境，数学思想系统还有待于充实创新和完善。数学思想系统是个永无完结的开放系统。数学思想方法的教学是以知识为载体，在知识教学的过程中来实现数学思想的教学。思想和数学思维活动紧密联系在起，它是实现从知识向能力转化的中介和桥梁。二对称思想方法对教学的影响对称思想方法对学生的影响对称思想方法的研究有助于对学生的发散性思维能力的提高。发散思维是吉尔福特在他的智力结构三维模式中提出的思维方式。发散思维又叫求异思维......”。