1、“.....其证明思想与常见的对事件的概率进行运算的证明方法相同它展示且仅当∈，即是事件此时，还可以用示性函数的线性组合来表示离散型随机变量设为随机变量，取值范围为则，其期望为引入示性函数表示随机变量，有利于随机变量的表示，也有利于期望的计算例如，多重伯努利试验中总的成功次数可表示为各个试验中成功次数之和，因而可以写为示性函数之和这初等概率论中示性函数的应用探究概率论论文∩，则，∪∩利用示性函数可以研究事件之间更多的关系与运算例如，利用对称差的示性函数表示证明∪，并证明对称差满足结合律交换律等更多习题......”。

2、“.....且对任意∈ℝ∈∶∈，实际用示性函数证明对偶原理，例如∩∪事实上，∩−∩−−初等概率教学中的应用作进步说明，着重于它在帮助学生理解些重要概念，帮助教师精简加深部分教学内容方面的作用例子事件之间的关系与运算示性函数的些基本性质如下定理设事件，为集合的子集，则∅当且仅当⊂当且仅当，也等价于，互斥当且仅当，互为对立事件当且仅当∩摘要示性函数在实分析等课程中很基本且应用广泛，但在初等概率论教材里应用不多本文举例说明示性函数可以帮助学生理解初等概率论中些基本概念结论并精简其中些计算关键词事件期望概率概率论示性函数引言设为集合的子集......”。

3、“.....∈，∈在实分析测度论高等概率论等课程中，示性函数处处可见，是构造简学生理解随机变量均匀分布等重要概念，还自然地出现在如与伯努利分布相关的数字特征的计算，大数定律与中心极限定理等重要内容中因此，在初等概率论的教学及教材编著中，示性函数值得系统引入并加以重视参考文献程晓生示性函数在概率论中的简单应用江苏科技信息，茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计教程北京高等教育出版社，欧阳顺湘实变函数论中的概率方法高等解∫∫∫∫∫∫，∫∫，为简洁起见，在上面的计算中，对般的随机变量进行统处理在初等概率论中......”。

4、“.....∫∫学生更清楚地看到几何概率的本质是均匀分布例设总体服从区间，上的均匀分布，其中为参数设为样本求的最大似然估计值解设，随机变量的概率密度函数为，因此，参数的最大似然函数为∏，∏，∩可见在处取到最大值所以，题，易通过枚举法用古典概率计算参，例之所以用另外的方法计算，是因为极值分布有般抽象计算公式该公式是概率论教学中个较难的知识点用示性函数应用般公式进行计算，不很复杂，且计算结果可与用古典概率得到的结果相印证这样可以使学生更直观地理解极值分布的般计算方法表示分布密度许多分布密度函数是分段函数......”。

5、“.....司存瑞，梁永吉用示性函数计算随机变量函数的概率分布陕西教育学院学报，王勇概率论与数理统计版北京高等教育出版社，张银龙，刘国庆，王勇妙用示性函数巧解概率问题大学数学，赵俊，宗序平示性函数在概率论中的应用洛阳师范学院学报，欧阳顺湘示性函数在初等概率论中的应用大学数学，基金国家自然科学基金，初等概率论中示性函数的应用探究概率论论文，还可以得到马尔科夫不等式和切比雪夫不等式由此可见，从利用示性函数证明混合矩计算公式开始，初等概率论中许多重要内容和概念，可如宝珠样线串连结论通过上述各方面的例子可见......”。

6、“.....表示随机变量及其分布，计算复杂事件的概率随机变量的期望和分布函数，证明与期望相关的重要不等式等示性函数可用于帮∩∩∩从而有下面的问题来自来自教材中习题的第题例设为任意事件，求证∩∩∩证∩∩∩−−−−∪对上述两例中的问题，般做法是对事件进行较为繁琐的分割，−等式，是较为熟知的结论下面强调它们的教学价值如果非负随机变量，有随机序，即对任意∈ℝ则从可直接得许多解析不等式可以从这个观测得到学生可以从中领略概率方法在分析中的应用从可以清楚地见到独立性与不相关之间的联系与区别两个非负随机变量独立蕴含它们不相关，反之不然根据熟知的程序......”。

7、“.....貌似简单，却是难点般教材在处理该问题的论述中常使用语言描述而使学生较为困惑利用示性函数，将思维过程转换为形式推理，可使学生更容易理解混合矩计算公式，公式及其他本小节内容都源于如下例子例设，为非负随机变量，则有如下混合矩计算公式∫∫，多好处如可利用示性函数来研究独立随机变量之和的概率密度函数的计算我们举两个别有趣味的例子例设为平面上的个可测区域其中为平面上的面积度量服从上的均匀分布的随机变量的概率密度函数可以表示为对平面上任何可测区域，其几何概率为∫∫∩均匀分布几何概率是初等概率论中的重要内容上述计算可以用示性函数计算较为简洁......”。

8、“.....它们的分布函数同为，所以，的分布函数为从可得的分布列为−⋯，该问题是初等概率论中的经典例初等概率论中示性函数的应用探究概率论论文−∩∩−−−−−−−−−∩−∩示性函数是如何辅助计算的例设为取值为非负整数的随机变量，则证事件的概率的计算等式揭示了期望与概率的密切联系事实上，可以通过约定期望应满足的公理将概率论公理化，而示性函数在其中起桥梁作的表示有利于总成功次数的期望与方差的计算......”。

9、“.....在教学中，离散型随机变量期望的线性性往往放在介绍多维随机变量联合分布等概念之后实际上，可以利用示性函数来证明这个性质，避免联合分布等概念以提前介绍离散型随机变量的期望及其线性性这两个重要概上也是教学中的难点些初等概率论教材为降低难度，对可测性条件不作介绍建议教师向学生简单介绍上的代数以及随机变量的确切定义，这样概率论中其他重要概念，如事件，作为上以事件为自变量的函数的概率，以及分布函数等概念才能恰当自然地定义为介绍随机变量而不加重学生负担，最简单而重要的例子是示性函数易得如下结论定理设为概率空间，⊂为随机变量−−∪，的对称差定义为∶∪∪特别......”。