1、“.....并且其表述方式是统的，这使得些数学概念之间的联系更加目了然。可以说，范畴论提供了种极其有用的框架，该框架使得不同的数学概念之间相互关联。范畴论是结构的理论，对数学结构有完整的表达。在这个意义上，我们认为范畴论不仅是数学语言，还构建了数学框架。数学框架必须能够为数学中的概念及理论提供系统的解释。任意范畴都表示了种数学结构，而且范畴论对数学结构的阐释方式是统的。范畴论的阐释抓住了数学构主义，数学关注的是结构以及对象的结构性质，而范畴论自身已经被描述为数学的结构理论。这样的认识与理解相结合便形成了范畴论数学基础的解释路径。具体而言，范畴论数学基础的本质特征体现在两个方面是范畴论诠释了数学内核是范畴论构建了数学框架。数学结构是数学的研究主体。范畴论作为种数学语言，为数学提供了统的概念基础，能够有效地诠释数学的内核结构......”。

2、“.....而且这种形式化蕴含定的数学内容，因而范畴论既从形式又从内容上阐述了数学结构，可以说，范畴论是处理数学结构的有效语言。兰德瑞引用了梅伯里对数学与逻辑之间关系的区分。弗雷格罗素怀特海等是逻辑主义的实践者，他们认为数学是逻辑的分支布尔皮尔斯等则秉持相反的观点，认为逻辑是数学的分支。在梅伯里看来，弗雷格的逻辑思想要求数学家谈论对象而不是结构，因而数学哲学家不能获得多样解释的概念而这些概念可用来表明结构中作为位臵的对象，因为它的结构。为了说明任意范畴都表述了种数学结构，我们将分别从形式与内容上对范畴本身的结构特性展开分析。从形式上看。摘要探究范畴论数学基础的理论根基，首先要领会数学结构的解释说明，从而认识数学的结构本质其次要解析范畴论对数学结构的阐释，借由范畴的形式化表征，理解范畴的结构特性......”。

3、“.....关键词数学基础结构结构本质范畴论科学家通过创建模型及理论了解整个世界，支持结构主义思想的数学哲学家则意在通过结构理解数学整体。概括地讲，基于范畴论的数学基础进路始于数学结构主义的研究思想，其将结构视作数学主体的这主张，为范畴论跻身数学基础研究平台提供了可能性。鉴于此，本文试图阐明范畴论作为数学基础的解释路径，并对范畴论数学基础的理论根基加以剖析。数学的结构本质对数学本质的讨论直是数学哲学探究的根本性问题，并且在定程度上影响了数学哲学的研究模式，甚至决定了对试析范畴论数学基础的本质特征数学基础论文有的性质就是与其他对象之间的相互关系。显然，谈论数学对象本身并没有什么意义，只有在确定的结构中谈论数学对象才有意义。简言之，数学对象自身的性质特点可被总结为是依据结构，必须在确定的结构中谈及对象是不存在与结构无关的内在性质。以结构的方式研究数学......”。

4、“.....同时为数学基础研究开启了种方法论上的解决思路。可以说，结构主义为数学应用提供了最好的可接受的解释。更重要的是，采用结构统数学内容，是便于阐明些已知的数学知识之间的联系，以及些看起来比较复杂的数学结构之间的相互联系，如向量空间中的向量积张量积实际上可以表示为同构的结构是可为些已知的数学定理提供新的论证方式是不同数学分支甚至不同学科可通过类比已知同构结构具有的性质来阐明自身性质是通过结构之间的相互联系，依据已知结构推导当前数学研究中的些新理论，如此引领数学不断前进。随着越来越多的数学哲学家聚焦数学结构主义，再考虑到起实践的检验。从范畴的定义可知，满足公理条件的就是范畴。范畴不深究对象是什么，只要对象满足态射关系就可以。确切地讲，任意范畴都是由对象与态射形成的，态射是对象之间的关系。再回顾数学结构的概念，数学结构是由对象及对象之间的关系构成的......”。

5、“.....范畴表述的都是数学结构，不同的范畴表示不同的数学结构。而且范畴论中的同构概念定义了具有相同结构的范畴，那些在同构概念下不变的性质就是结构性质。显然，范畴的结构性质都是通过态射表述的，因为范畴中的对象除了与同范畴中其他对象之间的关系外不具有任何其他性质，而对象与其他对象之间的关系就是态射。同时，范畴中对象的所有性质都是结构的性质。以上我们从形式与内容上理解到范畴表述了种数学结构，而且范畴中的对象只有结构的性质。具体而言，范畴论描述数学结构的有效性源于范畴中的态射是对象之间保存结构的映射，由此使得范畴论描述的数学性数学结构，而且是数学中基本的研究对象。应该说，数学的本质是结构这观点体现在各个数学分支中。在引入结构思想之前，代数学研究的是多项式方程及其解。由于多项式线性代数中的矩阵等都具有不同的结构，所以在引进结构的处理方式之后......”。

6、“.....因为每个拓扑空间都有自己的结构，所以对该问题的研究处理使用了结构主义的思想群论中的研究对象是群结构欧氏几何研究的是欧氏空间结构等等。这些数学分支的研究内容进步佐证了数学研究的是结构。因此说，数学的研究对象以结构为主体，并且可依据结构重新梳理所有数学内容。再考虑数学中的对象。数学对象的存在依据它们所在的结构，并且这些数学对象不具有任何内在性质，或者说它们所具有的性质就是与其他对象之间的相互关系。显然，谈论数学对象本身并没有什么意义，只有在确定的结构中谈论数学对象才有意义。简言之，数学对象自身的性质特点可被总摘要探究范畴论数学基础的理论根基，首先要领会数学结构的解释说明，从而认识数学的结构本质其次要解析范畴论对数学结构的阐释，借由范畴的形式化表征，理解范畴的结构特性......”。

7、“.....关键词数学基础结构结构本质范畴论科学家通过创建模型及理论了解整个世界，支持结构主义思想的数学哲学家则意在通过结构理解数学整体。概括地讲，基于范畴论的数学基础进路始于数学结构主义的研究思想，其将结构视作数学主体的这主张，为范畴论跻身数学基础研究平台提供了可能性。鉴于此，本文试图阐明范畴论作为数学基础的解释路径，并对范畴论数学基础的理论根基加以剖析。数学的结构本质对数学本质的讨论直是数学哲学探究的根本性问题，并且在定程度上影响了数学哲学的研究模式，甚至决定了对于数学基础的研究思路。本文将依据数学哲学家对数学结构的解释，剖析数学结构的性质，进而阐明数学的结构特性，最终完之间关系的语言，因为它允许我们依据对象与函子谈论般理论及其关系组成的般结构。在这个意义上，兰德瑞认为范畴论是数学语言，而且范畴论应该被看作数学结构主义的框架。显然......”。

8、“.....所以说范畴论为数学提供了理论框架。此外，阿沃第已明确建议，范畴论为实现结构主义提供了自然的框架，并且这种框架是数学哲学应该采用及追求的。自世纪年代起，范畴论已经成为拓扑学大部分代数多数泛函分析的标准研究框架。至年代发展至代数几何与数论，随后逐渐推广到所有数学中。确切地讲，范畴论能够阐述有关数学结构的概念内容及理论，并且能够将这些结构统起来，还可以根据需要提供多样的解释。在这个意义上可以说，范畴论能够为数学提供框架，而且在其框架下，不同数学分支不同数学领域的关系可以统起来，使数学分支免于片段化的独立发展。简言之，我们通过论述表明，范畴论语言以其强大的表述力，既诠释了数学内核，又构建了多样解释的问题不会出现。梅伯里通过固定的域来解释数学中的对象，他认为，固定的域通过集合论语言保证。在梅伯里看来，范畴论没有描述固定的域......”。

9、“.....因此范畴论不是数学语言。事实上，范畴论中的对象与箭头完全可以表示任何有关数学概念与理论的结构，而且结构中的对象可以依据结构来理解。在布尔的逻辑思想体系中，数理逻辑处理的是整个形式语言，每种语言都对应着无穷多不同的解释。这些语言中，量词的域不是提前固定好的，语言仅仅是句法组合，并且等待着个合适的结构来给予它公式的意义。从表面上看，范畴论在这样的理解下似乎可以作为数学语言，但梅伯里坚持只有集合论语言才能给出这样的语义学解释。而就其中涉及的语义学而言，兰贝克与斯科特论证了范畴论可以提供其所需的语义学。因此，无论在弗雷格还是布尔的逻辑思想中，范畴论都是表述数学的语言。范畴论中的态射描述结构中对象之间的关系，函子解释不同结构之间的关系，同构表述将便于我们更加清晰地领会数学结构的构成，从而进步理解结构在数学中的核心地位......”。