1、“.....该方程本质上与方程是等价的，但其考虑了对称性，结构较方程更为清晰利用该方程，前述性质很容易得到证明，其中性质是不变性和约束分布不变性的直接结果，而性质和除了这两个不变性之外，主要来源于前述两个子空间的交集是维的当自行车在空间曲面上运动时，接触点处约束方程的数学描述更为复杂这对动力学方程组的约化带来了很大的困难的线性化动力学模型进行对比，验证了模型的正确性论文中还提供了在自行车构型经典参数下，所得到的线性化方程的系数矩阵的具体表达式以及线性系统的具体特征值，并将其作为其他模型校验基准等采用矢量力学中的方法和分析力学中的方法，并结合计算机符号运算，得到自行车完备的非线性微分代数方程组......”。

2、“.....并通过符号运算工具消除了完整约束和非完整约束，由此得到约化的动力学模型等利用方法推导自行车的控制微分方程考虑车轮滑动作用建立了自行车线性化方程和在建立自行车动力学模型时考虑了轮胎几何路况以及系统阻尼等定是两个几何约束方程的全微分形式自行车两个接触点引起的独立的速度约束方程仅有个，它们对应个独立的非完整约束方程同时，这也意味着自行车系统的自由度为，这里的自由度采取分析力学中的传统定义，即系统的独立虚位移数对受约束的多体系统来说，可以将几何约束和微分约束在速度空间中进行统表示对自行车系统来说，可以直接利用两个接触点相对速度为零的条件，并将以上条件映射到接触点的局部坐标系中，进而可以将相应的完整和非完整约束统表示为其中，是个的矩阵，其具体表达式见文献的附录当自行车在曲面上运动时......”。

3、“.....通常需要采用计算机符号运算得到系统的约束方程这过程可以按照如下的流程进行在两个接触点和处分别定义个曲面曲线参数，记为其中，前两个曲面参数表征接触点在路面上的位臵信息，最后个曲线参数表征接触点在轮缘上的位臵信息根据文献给出的接触几何条件，可以建立以上个参数与系统广义自行车动力学建模及稳定性研究分析应用力学论文非线性约束方程进行了线性化近似处理利用解析几何的方法首次推导了完整约束方程的解析形式，其为次代数方程，且具有高度非线性等基于寻找两个车轮的最低点为参考条件推导了约束方程类似地，和，考虑轮胎的形状，采用直观的解析几何方法建立了完整和非完整约束方程等对两个车轮圆周进行参数化，利用极值条件车轮与地面的接触点为轮缘的最低点推导出车轮的完整约束方程理论上，接触点处的几何约束方程与两个接触体的几何外形密切相关因此......”。

4、“.....需要对两个接触体的几何外形进行参数化处理，进而依赖接触条件，确定接触点处的外形参数与系统广义坐标之间的函数关系，在此基础上，建立由系统广义坐标表示的几何约束方程，基于和关于接触约束的理论描述，等，分别建立了自行车在水平面和旋转曲面上的几何约束方程和速度约束方程当自行车在水平面上运动时，通过对前后轮轮廓和水平面参数化处理，最后可以得到由广后轮与地面之间的最大静摩擦系数足够大，以保证前后轮运动时处于纯滚动状态，即与地面无任何滑移前框架和后框架分别关于前轮和后轮所在的平面对称，是几何对称，是质量分布对称为了描述自行车的运动状态，定义空间惯性坐标系，并将坐标原点设臵在后车轮与路面的接触点处，轴的正向指向前车轮，轴正向背离地面，轴正向指向骑行者的左侧分别在个刚体质心处建立固连坐标系图自行车构型图自行车的个刚体通过个理想铰链连接......”。

5、“.....描述自行车自由运动需要个广义坐标等，将个广义坐标定义如下选择前叉转轴与前框架坐标轴的交点为参考点，其在惯性坐标系中的个坐标分量作为系统的个广义坐标遵循的旋转顺序，选择后框架固连坐标系相对于惯性坐标系的个欧拉角ϕ为系统的另外个广义坐标，其中为绕着轴的偏航转角，为绕着轴的倾斜角，ϕ为绕着轴的俯仰角另外个广义坐标分别为车把转角前框架相对于后框架的转角，后前轮相对模型，并认为自行车的自稳定性与车轮的陀螺效应有关文献也建立了各自的自行车等效动力学模型，但这些模型在反映自行车的自稳定特征时均存在定程度上的不足年法国数学家和英国剑桥大学应用刚体动力学理论，并引入些线性化的假设，分别独立地建立了自行车做匀速直线运动时的线性化摄动动力学模型特别是，两位研究者首次将自行车简化为由个刚体组成的简单构型，并给定了标准的几何和物理参数该简化的自行车构型被后来的研究者广泛采用......”。

6、“.....以及动力学理论和计算机技术的发展，自行车的研究范畴逐步扩大当前，关于自行车的研究内容不仅涉及经典力学的多个分支，而且与应用数学，控制理论机器人等多个学科领域密切相关在动力学方面，自行车涉及的问题主要包括由于两个接触体的运动约束涉及运动物体轮廓面线上的对动点的运动学关系，建立自行车在复杂曲面上的完整和非完整约束方程需要较为复杂的数学摘要自行车发明于两个多世纪前这看似古老的交通工具在为人们提供出行便利的同时，其独特的运动特性及动力学性质也吸引了来自数学物理及力学等多个学科相关学者的兴趣大体上，自行车可以描述为具有个自由度和个非完整约束的多刚体系统但由于前后车轮之间复杂的运动耦合关系，使得自行车的约束方程和动力学模型变得异常复杂，导致对自行车的稳定性存在些模糊认识本文针对经典的自行车构型......”。

7、“.....这些问题包括自行车在复杂曲面上的几何约束和非完整约束的数学描述自行车系统内在的对称性及守恒量自行车动力学的各类建模方法自行车运动的相对平衡点及稳定性分析，包括水平面上的匀速直线运动及旋转对称曲面上的匀速圆周运动影响自行车自稳定性的结构参数等本文最后对自行车动力学实验和控制方面的研究工作进行了回顾，并对自行车今后的研究给出了展望关键词匀速多刚体动力学稳定性分析自行车非完整约束自德国人于年发明了世界上第辆自行车以来稳定有的学者通过在自行车上增加外臵平衡装臵，如飞轮，和平衡块实现自行车的稳定持续前行以车把转角为控制变量，采用控制器研究自行车的稳定行驶提出了控制器的方法实现自行车在速度为零时的直立状态的稳定性和采用控制方法实现自行车的直线跟踪控制和等采用带扰动观测器的滑模控制方法研究运动稳定性，等采用滑模控制器研究自行车的车轮转动角跟踪控制问题除以之外，有些学者......”。

8、“.....开展了相关动力学的实验研究工作，为未来新型自行车的研制和实验提供了必要的借鉴资料图自行车的实验测试系统结论与展望本文较详细地总结了自行车自发明以来，不同学者对其动力学建模稳定性分析以及实验验证的研究工作作为典型的多刚体动力系统，自行车简单的机械结构蕴藏着丰富的动力学现象，在不同路面行驶过程中受到的复杂完整约束和非完整约束导致了其动力学模型的复杂性为了明晰自行车的自稳定性本轮效应是保证自行车实现稳定性的必要条件他们设计了款自行车如图所示，该自行车同样包括车身前叉前轮和后轮个刚体，但是车身和前叉简化为各自带有集中质量的杆件在该实验自行车中，方面通过在前轮附近利用反向旋转的副轮彻底消除陀螺效应，另方面前叉转轴延长线与地面的交点位于前轮触地点的后方，与的自行车正好相反，以此消除脚轮效应通过实验发现该自行车仍然可以实现自稳定，因此......”。

9、“.....但也不能否认这两个条件对自稳定的影响效应他们同时验证了自行车的其他参数，如前车架质量分布，各个几何参数的相互耦合作用等等，均对自行车自稳定性有重要影响刘延柱认为等的自行车并非无脚轮效应，他通过理论分析发现，由于其重心高度远大于普通自行车，前轮的侧向摩擦力的正面作用超过法向支撑力的负面作用，由此推动前叉朝脚轮效应正确方向转动图自行车试验模型为了明确自行车各个参数对稳定性的影响程度，等对自行车匀速直线运动状态下各物理参其中共有个待定常数，由微分代数方程组确定为了消除时变变量，他们引入了系列旋转变化，将圆周解等价转化为了个新的微分代数方程组的平衡解，其中共有个待定常数同时他们发现，这个常数只需要满足个代数方程因此与在水平路面上运动的情形样，这样的平衡点般来说不是孤立的，而是以单参数解族的形式存在的他们以旋转抛物面ξη，为对象......”。