1、“.....式为，且式为，从而，则有，因此，则，于则因此此时值满足式，则此时方程有正整数解，当，时有∉，则此时方程无解情况当时，式为，且式为，从而，若，则有，因此，则，则，因此，此时值数论方程的可解性研究数论论文有，因此，则，则，但这值均不满足式，则此时方程无解若，则有，则，由引理可知此时方程无解经计算可得，当时有∉，则此时方程无解若，则有，则，由于为素数，从而，则，由引理可知此时方程无解情况当时，式为若，则有，因此，有，有引理如果是正整数的标准分解式，则⋯，⋯......”。

2、“.....有特别地，当时，有引理当时，必有定理数论函数方程有正整数解证显然，不是方程的正整数解此时可设少的研究内容如文献，令为函数，它是由函数所派生出来的，它的值定义为∈对函数同样也有着不少研究内容如文献，近些年来，对有关广义函数函数与函数者混合的数论函数方程的可解性问摘要讨论数论函数方程的可解性，其中为广义函数，为函数，为函数基于广义欧拉函数函数与函数这个函数的性质，利用初等方法给出了这个数论函数方程的切正整数解关贵州师范大学学报自然科学版，袁合才......”。

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9、“.....从而则有，因此，则，由于则，则，此时值满足式，则此时方程有正整数解，则有，此时，则，则，此时值均不满足式，则此时方程无解若，则有，因此，由引理可知此时方程无解经计算可得，当，时有∉，则此时方程无解而当时，有，因此，由引理可知此时方程无解若，则有，即有，再由于为素数，从而，则，则，则，这些值均满足式，则此时方程有整数解是正整数的标准分解式，由引理有⋯，其中是的素因子，且是在的标准分解式中的指数根据引理有−−其中，且，有−−由引理，有−−−−即−−情况当时，式为若......”。