1、“.....直观比较小球沿不同曲线基于对最速降线问题数值求解研究应用物理论文，即光传播的路径光程取极值，这也是约翰伯努利的解决方法在最速降线问题中，个纯粹的力学问题和光学中的折射定律产生了密切的联系，体现了物理学的内在和谐之美最速降线。关键词数值方法最速降线物理意义解析函数最速降线问题是个古老的物理和数学相结合的问题......”。

2、“.....但这是错表达式微分方程和定义这个角度详细介绍了最速降线的数值求解方法，通过数值方法利用解析函数计算了小球沿不同曲线下滑所用的时间，详细讨论了每种方法的求解过程和适用范围摘要使用可视化和实验数据处理科学软件，从解析表达式微分方程和定义这个角度详细介绍了最速降线的数值求解方法......”。

3、“.....方法如下这里取初始坐标为，终止坐标为和里分别存放解的和坐标图给出了取不同值时的解，每段高度为如图所示图最速降线问题数值分析示意图使用进行数值求解使用摆线方程数值求解使用摆线方程数值求解直接利用了最速降线是摆线的结论以计算出摆线上任意点的坐标......”。

4、“.....随着点位臵的不同，最速降线除了下降段外，还会出现上升段是否会出现上升段，取决于是要寻找这样个函数，使得式中的积分的值最小利用欧拉朗格拉日第方程解微分方程，得到如下解这是摆线的参数方程，其几何意义如图所示半径为的圆旋轮与轴相切基于对最速降线问题数值求解研究应用物理论文可以看出当，最速降线含有上升段......”。

5、“.....有这是个元超越方程组，只能用数值方法求解由方程组可得−−方程转化为元方程，解得后代入式任何个，问曲线取什么形状时，小球滑行的时间最短这就是最速降线问题为了方便，取小球的初始位臵为原点......”。

6、“.....取上点不同于微分方程法和定义法，不具有第原理性数值求解主要解决两个问题利用，求解摆线方程的参数和，计算数值解证明解的存在性和唯性摆线方程数值求解将的比值由摆线方程可知，摆线最低点处，此时有，因此当时，最速降线只有下降段，当时，还会有上升段利用定义数值求解分析将在方向均匀分为初始切点位臵在原点处......”。

7、“.....圆上切点处点的轨迹就是最速降线将，代入方程，可以解得和表示的最大值利用，当小球位于点时，根据能量守恒，小球的速度为−−−为重力加速度取附近小段，则小球通过该小段需要时间为是的函数于是最速降线问题就基于对最速降线问题数值求解研究应用物理论文数据的方法最速降线问题问题描述在竖直平面上建立坐标系......”。

8、“.....小球可视为质点在重力的作用下沿曲线从较高点向不在正下方的较低点滑动忽略摩擦力线微分方程进行数值求解并进行求解讨论定义求解法，利用最速降线定义进行数值求解并进行求解讨论通过数值方法利用解析公式求解不同轨迹所用时间，并与最速降线比较滑的时间，对提高教学效果会有非常大的帮助些文献中对最速降线的数值求解研究......”。

9、“.....或者物理意义不够突出如遗传算法粒子群算法等，算法意义大问题的极值思想违反人直觉的特性如小球运动轨迹可能包括下降段和上升段，使其广泛应用于各类物理科学演示实验中在教学中，最速降线能够使学生对物体运动的力学规律和其背后误的后来约翰伯努利牛顿莱布尼兹雅克比伯努利等人解决了这个问题......”。