1、“.....只要模板量是循环程序的位置集合，这个集合也是有限的是程序循环的初始位置是变量集合上的初始代数断言表示状态变迁集。状态变迁是它的元素。状态变迁是个元组，其中，∈都表示程序位置，分别位于状态变迁之前和之后。当前状态变量集合用表示，变迁后的状态变量集合用表示。是个变迁关系，它是上的个代数断言。对于个代数变迁系统，如果中的变量可以全部用中变量表示成多项式，则我们称该变迁关系是可分离的，那么我们可以沿着程序的任意路径组合变迁基于消元法生成非线性循环不变式论文原稿变量。根据上述程序，我们设其次模板为。初始化条件为连续性条件为根据和......”。

2、“.....即，通过此循环不变式则循环体内每次运算的奇数与循环次数的关系目了然了。假设其次循环不变式模板为。其初始化条件则为。连续性条件为根据和，得此程序的次循环不变式为。根据前面计算出来的次循环不变式，可以把次循环不变式中的变量消去，则得到改变后的循环不变式，即。从此循环不变式，可以轻易看出是循环次数的平方。总结本文将循环程序转换为个代数变迁系统，结合当模板变量实例化时，则不变式模板被特例化到个多项式断言映射。这个约束求解分为两个部分，分别是对归纳断言的初始化条件和连续性条件进行求解。实际上，如果变迁系统是可以分离的......”。

3、“.....这是很容易完成的。基于消元法生成非线性循环不变式论文原稿。本文基于消元法生成非线性循环不变式的相关算法。程序首先被转换成代数变迁系统，再根据其代数变迁关系和不变式模板构造个多项式组，把不变式模板中适当变量通，如果得到的结果为，则说明该模板形式的循环不变式在此循环中不存在，需要构造其他形式的模板，如具有更高阶的模板，再从开始如果得到的结果不为，则进行第步将消除了带撇程序变量的多项式中每项的系数表达式与状态变迁之前的多项式中的系数对应起来，则得到关于模板变量的约束关系，从而得到程序连续性的约束条件......”。

4、“.....我们研究的循环不变式是能揭示程序些特性的多项式。这些多项式都是由程序变量构成的，这些多项式每项的系数是式的方法有多种，抽象解释技术是应用得最多的种方法，但其不足之处是会产生弱的循环不变式。当模板变量实例化时，则不变式模板被特例化到个多项式断言映射。这个约束求解分为两个部分，分别是对归纳断言的初始化条件和连续性条件进行求解。实际上，如果变迁系统是可以分离的，则可以根据程序选择组恰当的切点来完成对模板变量约束关系的构造，这是很容易完成的。我们研究的循环不变式是能揭示程序些特性的多项式。这些多项式都是由程序变量构成的，这些多项式每项的系数是可余伟......”。

5、“.....吴尽昭，王超基于吴方法的不变式生成算法，北京交通大学学报基于消元法生成非线性循环不变式论文原稿以变化的。因此，多项式的集合可以用个模板来表示，其系数由模板变量组成的线性表达式来表示。当我们把模板中模板变量值确定以后，该多项式也就确定了，这样就得到了关于该程序的循环不变式。循环不变式的生成给定个代数变迁系统，我们首先把代数变迁系统中的初始位置和位置集合中的其他位置都映射到个预先给定的模板。然后我们根据变迁系统的变迁关系依次得到每个位置上关于模板变量的约束关系，以保证这些约束的解对应于个归纳断言映射......”。

6、“.....如前所述，个代数变迁系统的连续性具有形式。中的变量值由变迁关系和状态变迁前位置中的变量得来，因此，把中的多项式与变迁关系中的多项式组成个多项式组，则多项式组有公共零点。那么，通过消元法计算多项式组消除程序变量，结合即可以得到循环不变式模板中每项系数表达式的约束关系。具体算法如下构造关于程序变量的多项式组，该多项式组由状态变迁后的模板和变迁关系中的多项式组成通过消元法把模板中的带撇程序变量消，变化的。因此，多项式的集合可以用个模板来表示，其系数由模板变量组成的线性表达式来表示。当我们把模板中模板变量值确定以后，该多项式也就确定了......”。

7、“.....循环不变式的生成给定个代数变迁系统，我们首先把代数变迁系统中的初始位置和位置集合中的其他位置都映射到个预先给定的模板。然后我们根据变迁系统的变迁关系依次得到每个位置上关于模板变量的约束关系，以保证这些约束的解对应于个归纳断言映射。连续性约束条件连续性约束条件的得出与，。本文基于消元法生成非线性循环不变式的相关算法。程序首先被转换成代数变迁系统，再根据其代数变迁关系和不变式模板构造个多项式组，把不变式模板中适当变量通过消元法消去，则可以得到关于模板变量的约束关系，通过对该约束关系求解就得到循环不变式。经实例分析......”。

8、“.....关键词循环不变式消元法模板约束引言为了证明程序的部分正确性，和等引入了循环不变式。生成循环不基于消元法生成非线性循环不变式论文原稿选择得当，对于循环不变式的次数也是没有限制的，可以得到线性的循环不变式，也可以得到非线性的循环不变式。参考文献，系。基于消元法生成非线性循环不变式论文原稿。奇数求和可以表示成，其程序如下此程序中，的作用是记录循环运行次数的变量。根据上述程序，我们设其次模板为。初始化条件为连续性条件为根据和，故得此程序的次循环不变式为，即，通过此循环不变式则循环体内每次运算的奇数与循环次数的关系目了然了。假设其次循环不变式模板为......”。

9、“.....连续性条件为根据和，得此程序的次循环不变式为。根据前面计算出来的次循环不变式，可以把次循环不变式中的，余伟，冯勇用结式产生非线性循环不变式川大学学报周宁，吴尽昭，王超基于吴方法的不变式生成算法，北京交通大学学报。基础知识定义代数变迁系统个代数变迁系统是个系统，其中是个集合，由有限个变量构成，每个变量对应于循环程序中的板技术，首先用构造的模板和代数变迁系统的变迁关系构造出个多项式组。再通过消元法消除多项式组中的程序变量，得到程序循环不变式成立必须满足的初始约束条件和连续性约束条件。最后，对此代数变迁系统的初始约束条件和连续性约束条件联合求解......”。