1、“.....阶行列式定义设有个数排成行列的数表原则横行竖列引进记号称为阶行列式主对角线副对角线阶行列式的对角线法则并不适用！阶行列式的计算对角线法则注意对角线法则只适用于阶与阶行列式实线上的个元素的乘积冠正号,虚线上的个元素的乘积冠负号例计算行列式解按对角线法则,有方程左端解由得例求解方程,或全排列及其逆序数问题把个不同的元素排成列,共有多少种不同的排法定义把个不同的元素排成列,叫做这个元素的全排列个不同元素的所有排列的种数......”。

2、“.....只有种排法中的数字是按从小到大的自然顺序排列的,而其他排列中都有大的数排在小的数之前因此大部分的排列都不是顺序,而是逆序个不同的元素共有!种不同的排法,对于个不同的元素,可规定各元素之间的标准次序个不同的自然数,规定从小到大为标准次序定义当两个元素的先后次序与标准次序不同时,就称这两个元素组成个逆序例如在排列中,逆序逆序逆序思考题还能找到其它逆序吗答和,和也构成逆序定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数排列的逆序数通常记为奇排列逆序数为奇数的排列偶排列逆序数为偶数的排列思考题符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列答符合标准次序的排列例如的逆序数等于零,因而是偶排列计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为设是这个自然数的任排列,并规定由小到大为标准次序先看有多少个比大的数排在前面,记为再看有多少个比大的数排在前面,记为最后看有多少个比大的数排在前面,记为例求排列的逆序数解练习求排列的逆序数解阶行列式的定义概念的引入规律项,即!项正负号除外......”。

3、“.....对应的项取正号当是奇排列时,对应的项取负号所以,阶行列式可以写成其中表示对的所有排列求和阶行列式有类似规律下面将行列式推广到般的情形阶行列式的定义阶行列式共有!项个元素的乘积正负号除外,其中是的个排列是偶排列时,对应的项取正号当个非零行,故第步求的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第个非零元所在的列,与之对应的是选取矩阵的第列,计算的前行构成的子式因此这就是的个最高阶非零子式分析对作初等行变换变为行阶梯形矩阵,设的行阶梯形矩阵为,则就是的行阶梯形矩阵,因此可从中同时看出及例设,求矩阵及矩阵,的秩解,......”。

4、“.....则,若,则若可逆,则特别地,当为非零列向量时,有,例设为阶矩阵,证明证明因为,由性质有又因为,所以例若,且,则解因为,所以的行最简形矩阵为,设阶可逆矩阵,满足于是因为,而,故例若,且,则附注当个矩阵的秩等于它的列数时,这样的矩阵称为列满秩矩阵特别地,当个矩阵为方阵时,列满秩矩阵就成为满秩矩阵,也就是可逆矩阵因此,本例的结论当为为方阵时,就是性质本题中,当,这时结论为设,若为列满秩矩阵,则线性方程组的解线性方程组的表达式般形式向量方程的形式方程组可简化为增广矩阵的形式向量组线性组合的形式线性方程组的解的判定设有个未知数个方程的线性方程组定义线性方程组如果有解,就称它是相容的如果无解......”。

5、“.....则解是否唯问题若方程组有解且不唯,则如何掌握解的全体不定相等！,定理元线性方程组无解的充分必要条件是,有唯解的充分必要条件是,有无限多解的充分必要条件是,分析只需证明条件的充分性,即,无解,唯解,无穷多解那么无解,唯解,证明设,为叙述方便,不妨设,的行最简形矩阵为第步往证,无解若即则,前列后列前列前列第步往证,唯解若故原线性方程组有唯解后列则且,对应的线性方程组为从而都不出现,第步往证,无穷多解若对应的线性方程组为前列则后列即,......”。

6、“.....作自由变量,则再令,则线性方程组的通解,,行列初等变换与矩阵乘法的关系对调单位阵的第,行列,记作,记作,以常数乘单位阵第行列,记作记作以乘单位阵第行加到第行,记作记作以乘单位阵第列加到第列两种理解！,,,,结论把矩阵的第行与第行对调......”。

7、“.....即以非零常数乘矩阵的第行,即以非零常数乘矩阵的第列,即把矩阵第行的倍加到第行,即把矩阵第列的倍加到第列,即,,性质设是个矩阵,对施行次初等行变换,相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵对施行次初等列变换,相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵口诀左行右列初等变换初等变换的逆变换初等矩阵因为对于阶方阵,如果,那么都是可逆矩阵,并且它们互为逆矩阵,所以般地,,,,因为对于阶方阵,如果,那么都是可逆矩阵,并且它们互为逆矩阵,所以般地,因为对于阶方阵,如果,那么都是可逆矩阵,并且它们互为逆矩阵,所以般地......”。

8、“.....性质方阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵,使,这表明,可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵其实,可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵推论方阵可逆的充要条件是推论方阵与等价的充要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵,使初等变换的应用,有时,由当,,及就变成时,原来的变成当把施行初等行变换,矩阵即对解例,求设即初等行变换矩阵的方法,还可用于求利用初等行变换求逆阵例解,,其中使求矩阵可逆......”。

9、“.....列变换行变换即可得作初等行变换,也可改为对作初等列变换,则可对矩阵如果要求,若矩阵是同型矩阵,且采用相同的分块法,即则有形式上看成是普通矩阵的加法！,分块矩阵的数乘若是数,且则有形式上看成是普通的数乘运算！分块矩阵的乘法般地,设为矩阵,为矩阵,把分块如下,......”。