1、“.....分析分别先确定集合，的元素，，或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案或公共部分整个数轴都被覆盖或或除去重合部分剩下的区域除去覆盖部分剩下的区域数形结合思想在解决对称问题中的应用例如图，已知，从点，射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是解题思路利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度解析设点关于直线的对称点为关于轴的对称点为，，则光线所经过的路程的长本例是运用数形结合解题的典范，关键是灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化，般地，在已知直线上求点到两个定点的距离之和的最小值，需利用对称将两条折线由同侧化为异侧......”。

2、“.....。最大值，需利用对称，将两条折线由异侧化为同侧，从而实现转化。利用函数图像比较函数值的大小些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。如例试判断三个数间的大小顺序分析这三个数我们可以看成三个函数在时，所对应的函数值在同坐标系内作出这三个函数的图像如图，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置，从而可得出结论数形结合思想在解方程问题中的应用例解方程分析由方程两边的表数形结合思想渗透于具体的问题中，在解决问题中让学生正确理解数与形的相对性，使之有机地结合起来。让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用。参考文献中华人民共和国教育部制定数学课程标准实验北京人民教育出版社，周春荔，数学观与方法论，首都师范大学出版社......”。

3、“.....何新艺数形结合在极值与极大值问题中的应用中国校外教育卢丙仁数形结合的思想方法在函数教学中的应用开封教育学院学报，致谢经过几个月的努力，本论文终于完成了。本论文是在导师戴普庆老师的悉心指导下完成的。从论文的选题研究方案的设计实施到论文的撰写和审阅，无不浸透了戴老师的心血。在此，向我的导师致以衷心的感谢和崇高的敬意,达式我们可以联想起函数与，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为数形结合解决最值问题利用数形结合思想有时可以解决些比较复杂的最值和值域问题，特别是些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题。例已知函数，求函数的最小值解由的结构形式，我们可以联想到几何当中直线的斜率公式，即可以看成过点......”。

4、“.....的直线的斜率是动点且在圆上，为定点，作出图象，由图可知，，则，所以圆的切线的倾斜角为，故形中觅数例设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况分析我们可把这个问题转化为确定函数与图像交点个数的情况，因函数表示平行于轴的所有直线，从图像可以直观看出当时，与没有交点，这时原方程无解当时，与有两个交点，原方程有两个不同的解当时，与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个④当时，与有三个交点，原方程不同解的个数有三个当时，与有两个交点，原方程不同解的个数有三个例已知直线和双曲线有且仅有个公共点，求的不同取值个数。分析作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点的直线系，双曲线的渐近线方程为。所以过点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有个公共点，此时取两个不同值，此外......”。

5、“.....此时取两个不同的值，故有四个不同取值。在做很多题目时把图形画出来，问题自然就解决了，利用数与形的相互转化来解决几何问题，它具有直观性灵活性等特点。数形完美的结合，就能达到事半功倍的效果。结束语数无形不直观，形无数难入微。总之，数形结合思想方法是种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化。另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的。因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维。在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中，要充分挖掘教材内容，合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处......”。

6、“.....而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。早在数学萌芽时期，人们在度量长度面积和体积的过程中，就把数和形式联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数画化的方法，用代数式描述些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。数形结合词正式出现在华罗庚先生于年月撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题的科普小册子中。数形结合的应用大致又可以分为两种情形第种情形是以数解形，而第二种是以形助数。以数解形就是有些图形过于简单，直观观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长角度等等。以形助数是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。数形结合思想的研究意义及作用数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。首先......”。

7、“.....例如在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域值域单调性奇偶性周期性有界性以及凹凸性等。其次，应用数形结合能培养学生的数学直觉思维能力。第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力。第四，应用数形结合有益于培养学生的创造性思维能力。数无形时不直观，形无数时难入微道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。在中学教学中，数形结合已成为条重要的教学原则。数形结合思想方法在中学数学教学中的地位从新课程标准对思维能力的要求看数形结合数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识第通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展......”。

8、“.....第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动变化联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分渗透数形结合思想，挖掘它的，如果能从图形特征中发现数量关系，又能从数量关系中发现图形特征，并准确构图那么很快就能得出正确答案。数形结合思想应用的途径和原则数形结合的途径通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系复平面可以将图形问题代数化。这方法在解析几何中体现的相当充分值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧。实现数形结合，常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念......”。

9、“.....如等式通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化。例如，将与距离互化，将与面积互化，将或与余弦定理沟通，将且中的与三角形的三边沟通，将有序实数对和点沟通，将二元次方程与直线将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等。这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造个图形。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。数形结合的原则等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的般性，这时图形的性质只能是种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索......”。