1、“.....等式成立。假设当时，等式成立则当时，则有则当时，等式也成立由此可知运用数学归纳法解决不等式问题例证明当时，式成立。假设时，原式成立。则当时，有则当时，原式也成立。则不等式成立。例若不等式对切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明你的结论。解取，令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明时，已证结论正确。假设时，不等式成立。则当时......”。

2、“.....结论成立。由，可知，对切，都有故的最大值为。数学归纳法在排列和组合中的应用例定理,证明首先，这是显然成立的，如果再能证明当时那么式子也就可用数学归纳法证明。我们假定有个不同的元素，每次取出个元素的组合里，可以分为两类类含有，类不含有，含有的组合数，就等于从里取个元素的组合数，它等于不含有的组合数，就等于从里取个的组合数，它等于，所以下面我们证明式子当的时候，这个定理是正确的假设的时候，这个定理是正确的则当的时候，有,这里所以时，这个定理也是正确的，所以，公式,是成立的。运用数学归纳法解决几何领域问题例平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同点。求证这个圆把平面分成个部分。证明当时......”。

3、“.....命题成立。假设当时命题成立，即个圆把平面分成个部分。则当时，这个圆中的个圆把平面分成个部分，第个圆被前个圆分成条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这是共增加了个部分，即个圆把平面分成即命题成立。毕业实习中的案例在我的毕业教学实习中，在教授数学归纳法时，发现学生在运用数学归纳法证明恒等式的过程中，般会出现两个比较重大的。个是弄不清第二步到第三步的具体变化，另个是在证明时根本没有运用到第二步的假设，这说明学生对数学归纳法的三步骤还没有深刻理解，也没有掌握数学归纳法的概念。对于这两个问题下面我给出了实例。到时的变化例用数学归纳法证明时，，从到左端需增乘的代数式为解法时，式子左端为步，证明时定要用到它，否则就不是数学归纳法，证明恒等式的时候......”。

4、“.....要用到些技巧，如凑假设，二凑结论，加减项拆项不等式的放缩等价转化等，这些解题的技巧要在实践中不断总结和积累总之要记住三句话递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写时莫忘掉，这样我们才可以更好的运用数学归纳法数学归纳法是种重要的数学方法，也是中学数学的重难点之，它在对于开阔眼界，训练推理能力等方面都有很大的帮助在中学数学中，数学归纳法对于许多重要的结论，如等差数列等比数列的的通项公式与前项和公式，二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明，进而可以加深对教材以及知识的理解当然不仅在中学数学中，在进步学习高等数学的过程中，数学归纳法也是种不可或缺的方法。致谢本篇论文虽然凝聚着自己的汗水，但却不是我个人智慧的结果，没有老师的指导和支持，没有同学们和朋友们的帮助，我的毕业论文肯定完成得不是那么顺利。当我看着我的毕业论文时......”。

5、“.....而是源自心底的诚挚谢意。我首先要感谢我的指导老师，对我的构思以及论文的内容和论文格式书写不厌其烦的进行多次指导和悉心指点，使我在完成论文的同时也深受启发和教育,在本次论文设计中，我从指导老师身上学到了很多东西。老师认真负责的工作态度，严谨治学的精神和深厚的理论水平都使我受益匪浅，在理论和实践重点都给予我很大的帮助,我也在努力的积蓄着力量，尽自己最大的努力回报母校的培育之情，争取让自己在以后的人生中对社会产生积极的价值从而提升自己的人生价值,参考文献华罗庚数学归纳法北京科学出版社黄忠裕中学数学思想方法专题选讲成都四川大学出版社唐子周关于数学归纳法的点探索中国科技信息，张莉，贺贤孝数学归纳法的历史辽宁师范大学学报自然科学版，黄崇智第及第二数学归纳原理的推广内江师范学院学报，苏淳漫话数学归纳法合肥中国科学技术大学出版社吴宪芳......”。

6、“.....式子左端为故选。分析时，左端第个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式。正确解法时，式子左端为当时，式子左端为所以需增乘的应该是，故选。忽略时的假设条件例时，解法当时，左边，右边，等式成立假设，，等式成立当时，有所以时，等式成立。综上所述，当时，等式成立。分析在证明等式成立时，没有用到归纳假设。正确解法当时，左边，右边，等式成立假设，，等式成立当时......”。

7、“.....等式成立。综上所述，当时，等式成立。数学归纳法是种用于证明与自然数集有关命题的正确性的证明方法，它的操作步骤简单，明确，教学重点应该是方法的应用，但我们如果在课堂中采用填鸭式的教学方法，让学生死记硬背数学归纳法证明的三步骤，不注重学生对数学归纳法的理解，只是会让学生知其然不知所以然。那么在你不断给出运用数学归纳法的范例后，学生通过模仿或许能够写出正确答案，但是他们心中还是存有疑虑，为什么第步的验证这么重要呢，为什么三者缺不可呢。对于这些问题，教师应当作出解释，但是因为数学归纳法的原理对于高中生来说是比较难理解的，是较为抽象的。这就对教师的教学方法提出考验，教师应该怎么做才能使这个原理简单化，形象化。为了解决这个问题，我在讲授数学归纳法之前先用多媒体播放多米诺骨牌游戏，只启不发......”。

8、“.....对比数学归纳法与多米诺骨牌游戏规则寻求它们的共同特点，从而概念出数学归纳法的证题模式。再之后我们给出些经典实例，例如古代数学家发现个规规律，并且他利用这个规律归纳出了个恒等式，但是这还只是它的个猜想，其正确性还要再去证明，那么这个时候我们就可以用数学归纳法来证明它的对否。通过这些事例，不仅让学生了解了数学归纳法和归纳法的区别和联系，也让学生看到了数学归纳法这个数学方法的前景。数学归纳法不仅仅是对中学数学证明方法的重要补充，同时也是启发学生数学思维的重要契机。在教学方法上，我主要采用在教师指导下的师生共同讨论探索的方法，目的是在于调动学生积极参与主动探索主动学习。为了使参与不偏离学习内容，教师应做好发动组织引导和点拨。学生的思维参与往往是从问题开始的，所以要尽快创设问题情境，并提出思维要求，这使学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的......”。

9、“.....并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用自已学的知识方法予以解决，并获得新的发展。在高中对数学归纳法的运用中，其中数学归纳法和归纳法很多时候都是起考察的，特别是在综合题中。般要求学生先利用归纳法来得到恒等式，最后再用数学归纳法证明这个恒等式的正确性。在学生学习数学归纳法时，般都有几个误区无法察觉归纳法和数学归纳法的区别，数学归纳法只要会模仿三步骤就可以了，是个还简单的数学证明方法，认为第步的验证和第二步的假设没有必要。教师在讲课过程中，可以通过举反例的方式来纠正学生的想法，使学生更好理解数学归纳法的精神实质，教师还要特别强调要用到归纳假设，没有归纳假设的证明方法不是数学归纳法。在数学归纳法的教学中，教师要特别注重数学归纳法的三步骤，要特别强调数学归纳法的完全证明步骤就是三步骤，缺不可，但并不是句话带过......”。