1、“.....且雅可比矩阵的秩为，则存在个常数，，使得,为拉格朗日函数的稳定点求条件极值的步骤如下作拉格朗日函数分别令，得到相应的方程组解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定例求函数,在条件下的极值解构造函数,解方程组得，故点,是函数,的可能极值点因为只有唯的个驻点，且问题的最小值是存在的，所以此驻点,也是函数,的最小值点最小值为,万元例求函数在条件及下的极值解作拉格朗日函数令得解得，，，......”。

2、“.....，，，将上式代入得其值分别为和，故原函数在其条件下的极大值为，极小值为，不是极值例已知，其中，，，求在条件下的极小值解作拉格朗日函数,令得，，将所求的代入原方程可得故所求的的极小值为参考文献邝荣雨等编著微积分学讲义第二版第册，第三册，北京师范大学出版社，年月卓里奇编著数学分析第四版第，二卷，高等教育出版社，年月陈公宁编著矩阵理论与应用第二版，科学出版社，年月华东师范大学数学系编数学分析第三版上册，高等教育出版社，年月华东师范大学数学系编数学分析第三版下册，高等教育出版社，年月北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编高等代数第三版，高等教育出版社，年同济大学数学教研室编高等数学第三版下册致谢在大学三的学习过程中......”。

3、“.....使我能够在以优异的成绩完成学业之余，自身综合能力也得到了极大限度的提高在此谨向他们表示我最衷心的感谢,感谢我的指导老师连玉平，他严谨细致丝不苟的作风是我工作学习的榜样他循循善诱的教导和不拘格的思路给予我无尽的启迪感谢和我起走过大学三年的好朋友们,是他们路的陪伴与爱护，才有了我现在的成绩他们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情他们的待人处事，治学态度将会影响我的生在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师同学朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意,再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福,级班郭玉兰年月日于令,,其中,于是有时这时,故，式括号中前三项可表示为显然式恒不为零,且与同号其绝对值为......”。

4、“.....有最小值另方面,时,由于均趋于，则对切都有，只要充分小因此时,,函数取极小值时,,函数取极小值时若，仍可利用的变换时,内表达式变为,故为正反之，若由条件确定，则内将变成，故为负充分小时，式括号中后三项，不论在或时都可成为任意小，故的符号即由前三项的符号决定这样，在被考察的点的任意近处，在由角度及确定的射线上，有异号的值因此，在这点，函数不可能有极值若，式括号中前三项就变成此时必有,故可这样来确定使，于是，当及时，上面的三项式就有相反的符号，讨论可同上面样完成所以，时，在取极值，有极大值，有极小值时，在取不到极值，定理证毕求二元函数极值的基本方法利用函数极值的定义求极值利用函数极值存在的充分必要条件求极值......”。

5、“.....的极值的般步骤为解方程组,，求得切实数解，即可求得切驻点对于每个驻点,，求出二阶偏导数的值确定的符号，按定理的结论判定,是否是极值，是极大值还是极小值④考察函数,是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极值点。例解解方程组得稳定点由于,，，故极值不存在例解解方程组解得稳定点,及,在处，,于是,故在取得极大值同法可得函数在点取得极小值的，则是的严格极大点，如果是不定的，则不是的极值点证明设正定，取满足上面引理，将在点作二阶展开......”。

6、“.....因此存在的邻域，使得时，得，是的严格极小点如果不定，则存在维向量和，使得，而，令，，则充分小时和都在内且充分小时，因此不是极大值点，同理在充分小时小于零，因此不是极小值点，得不是极值点条件极值问题我们把附有约束条件的极值问题称为条件极值问题条件极值问题的般形式是在条件组,，的限制下，求目标函数的极值在般情况下要从条件组中解出个变元并不总是可能的，下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法我们从，皆为二元函数这简单情况入手......”。

7、“.....的极值，其中,受条件,④的限制若把条件看作,所满足的曲线方程，并设上的点,位在条件④下的极值点，且在点,的邻域内方程④能唯确定可微的隐函数，则必定也是,的极值点，故由在,可微，在可微，得到而当满足隐函数定理条件时把代入后又得到从而存在常数，使得在,处满足如果引入辅助变量和辅助函数则中三式就是,⑩这样就把条件极值问题，④转化为讨论函数的无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法，中的函数称为拉格朗日函数，辅助例造个容积为的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少解设盒子的长为，宽为......”。

8、“.....的二元函数，定义域为由，，得驻点,根据问题的实际意义，盒子所用材料的最小值定存在，又函数有唯的驻点，所以该驻点就是取得最小值的点即当时，函数取得最小值，也即当盒子的长宽高相等时，所用材料最少多元函数极值的求法以上我们分别解决了元函数极值问题和二元函数极值的问题，进而推广，面对多元函数的极值问题我们又该如何进行分析解决呢普通极值问题设是集合上的函数，如果对，存在在中的邻域，使得，恒有则称为在上的局部极大值极小值，称为的局部极大值极小值点，如果是开集，则称为普通极值点，否则称为条件极值点定理如果是的普通极值点，且在存在偏导数，则证明是内点，因而是元函数的极值点，因此定义设在区域上处处存在偏导数......”。

9、“.....则称为的判别点如果为的极值点，则其实的判别点，但反之并不成立例令,，则,，,，但,并不是,的极值点与元函数相同，我们需要利用在判别点处的二阶展开来讨论所给判别点是否是极值点以及是什么样的极值点为此我们需要下面的引理引理设阶对称矩阵是正定负定的，则存在，使得对任意，恒有证明中单位球面是有界闭集，因而是紧集，上的函数连续且处处不为零，因而在上达到最小值，设为，则对任意恒有引理得证定理设是在区域内的判别点，若果在的黑赛矩阵是正定的，则是的严格极小点，如果是负定最大值和最小值，函数的极值和最值有定的联系，可以为求函数的最值作定的参考函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位......”。