1、“.....求证证明令,则而,则,命题得证例行列式在解析几何中的几个应用用行列式表示公式用行列式表示三角形面积以平面内三点,为顶点的的面积是的绝对值证明将平面,三点扩充到三维空间,其坐标分别为,其中为任意常数由此可得,则面积为,用行列式表示直线方程直线方程通过两点,和,的直线的方程为证明由两点式,我们得直线的方程为将上式展开并化简,得此式可进步变形为此式为行列式按第三行展开所得结果原式得证应用举例例若直线过平面上两个不同的已知点,,求直线方程解设直线的方程为,不全为,因为点,在直线上,则必须满足上述方程,从而有这是个以为未知量的齐次线性方程组,且不全为......”。

2、“.....即则所求直线的方程为同理,若空间上有三个不同的已知点,平面过,则平面的方程为同理,若平面有三个不同的已知点,,圆过,则圆的方程为行列式在平面几何中的些应用三线共点平面内三条互不平行的直线相交于点的充要条件是三点共线平面内三点,在直线的充要条件是应用举例例平面上给出三条不重合的直线,若,则这三条直线不能组成三角形证明设与的交点为因为,将第列乘上,第列乘上,全加到第列上去,可得因为在与上,所以,且若与平行,若也在上交于点,无论何种情形,都有不组成三角形这说明由,得到三条直线或两两平行或三线交于点也就是三条直线不能组成三角形行列式在三维空间中的应用平面组设由个平面方程构成的方程组为若方程组中的各代以......”。

3、“.....叫做点的齐次坐标这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵及的秩及有关系现在分别叙述如下Ⅰ当,则方程组中各系数全是Ⅱ当则方程组不合理,方程组有解当,将趋近于无穷大假设趋近于在这种情况下,我们说这个平面在无穷远重合Ⅲ当,则在矩阵及中所有二阶行列式全是所以我们有以上等式表示个平面相合成个平面Ⅳ当方程的系数中至少有两组数如,及,满足以下关系式上式表示平面,平行但不相合也就是平面组中个平面相合或平行,至少有两个平面不相合Ⅴ则矩阵及中所有三阶行列式全是,至少有个二阶行列式不是假设我们必可求得适合下式,,式中......”。

4、“.....适合以下关系,是,中的数以上第个等式表示组中第平面,与直线平行又因第二个不等式表示第平面不经过上述直线,所以个平面有平行的交线例如由方程组,解得因为行列式而其它三个行列式不全是零故,就是三个平面的交点在无穷远三个平面中每两个平面的交线是平行的Ⅶ当,,并假定在这种情况下,平面,相交于点又因故平面经过前面三个平面的交点,就是个平面有个交点,不在无穷远Ⅷ当,,则矩阵中至少有个四阶行列式不等于零假设是,中的数以上不等式表示平面,不经过前三个平面的交点点组设有个点......”。

5、“.....则个点的坐标全是,不能确定点的位置Ⅱ当,假定,很容易推得因为中所有的二阶行列式等于上式表示个点全重合Ⅲ当,并假设,因中所有三阶行列式全等于,我们可以求得适合以下方程式中不等于,否则行列式将等于故可求得,假设点,及,的连线为把,的等值代入上式,易验证点,在这连线上,故该点与第及第二两点共在直线上因可以是,所以个点全在直线上Ⅳ当,并假定,中所有的四阶行列式全是,我们可以求得,适合下式式中不等于,否则行列式从以上方程组求得,设点,及所确定的平面是把,的等值代入上式,甚易验明点,在这个平面上,故该点与前三个点共在平面上又因为可以是,所以个点共在个平面上Ⅴ当,中至少有个四阶行列式如是......”。

6、“.....不在前三个点所确定的平面上,因为假设点,在平面上,则以下关系成立也就是行列式这与假设矛盾参考文献北京大学数学系几何与代数教研小组编高等数学第三版北京高等教育出版社，毛纲源线性代数解题方法技巧归纳武汉华中科技大学出版社，许甫华高等代数解题方法北京清华大学出版社，张贤科,许浦华高等代数学北京清华大学出版社，胡乔林关于行列式的定义及其计算方法,科技信息万广龙行列式的计算方法与技巧杨鹏辉行列式的计算技巧宜春学院学报周宁,夏益斌行列式在解析几何中的应用昆明冶金高等专科学校学报钱吉林高等代数题解精粹北京中央民族大学出版社,彭丽清行列式的应用忻州师范学院学报北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数第三版北京高等教育出社,高杨芝行列式浅说江苏江苏人民出版社,的特点选取所加的行和列。加法适用于行列有个相同的字母外......”。

7、“.....加边法的般做法是特殊情况取或例计算阶行列式分析我们先把主对角线的数都减，这样我们就可明显地看出第行为与,相乘，第二行为与,相乘第行为与,相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子从而就可考虑此法。解拆行列法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行列法。由行列式的性质知道，若行列式的行列的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的行列分别以这两数之为该行列的元素，而其他各行列的元素与原行列式的对应行列相同，利用行列式的这性质，有时较容易求得行列式的值。例南开大学年研究生入学考试题第大题，要求下列行列式的值设阶行列式且满足对任意数，求阶行列式分析该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有个数是......”。

8、“.....解,又令,且,有且由得即又也为反对称矩阵又为的元素,有从而知,利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形利用行列式的性质如提取公因式互换两行列行乘以适当的数加到另行列去把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。例计算行列式解把第行的倍加到第行，把新的第行的倍加到第行，以此类推直到把新的第行的倍加到第行，便得范德蒙行列式例计算阶行列式其中解这个行列式的每行元素的形状都是，即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是，又因，若在第行，提出公因子，则可化为个转置的范德蒙行列式......”。

9、“.....使之配成范德蒙行列式易知等于中的系数的相反数,而中的系数为,因此,例计算阶行列式解显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第行依次与第行，行行，行对换，再将得到到的新的行列式的第行与第行，行行对换，继续仿此作法，直到最后将第行与第行对换，这样，共经过次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式......”。