1、“.....栏中填入，栏填入。另外在栏中选,在动画时间栏中填入最后单击按钮即可。可以看到，是初始位移形成的波在膜上来回传播，如图所示。图矩形膜的振动这个问题是有解析解的，解法如下，将定解问题分离变量得三个方程为分别求得定解问题的解的形式由初始条件定出,最终的解为从这个解中可以看出，矩形膜的本征函数和本征值分别为圆膜的振动边缘固定，半径为的圆形膜，初始形状是旋转抛物面，初始速度为零，求膜的振动情况。定解问题是它的解是,下面直接用偏微分方程工具箱来解决这个问题。计算中可取。先画个半径为圆心在原点圆，边界条件为周边固定，所以不必改变默认设置。方程取双曲型......”。

2、“.....。方程求解的时间范围可取，初速取零而在初始位移栏中输入作图时选择,最后单击按钮即可。所得图形如图所示。图圆形膜的振动用软件研究三维振动问题柱体内的振动研究匀质圆柱，半径为，高，上下底面固定，侧面自由，初始位移为零，初始速度为，求柱体内各处的振动情况。定解问题是问题的解析解是下面用求数值解，以表示柱体的高度，表示柱体宽度，画个柱体的纵切面。为了较好的演示效果，求解的区域是,。在柱体的上下底，取狄里克利边界条件即在对话框中取,，在侧边界上诺伊曼边界条件，即在对话框中取为,。方程取双曲型，在对话框中取,。方程求解的时间范围可取，在初始位移取零，初速，为了获得更高的精度，将区域划分网络以后，要作两次细分。在作图对话框中，选择,和，在外为了看得更清，把函数值适当放大，做法在栏目下与对齐的位置，选择栏目下......”。

3、“.....这里画的过柱轴的截面的运动，不难想象，面上每个点都应该围绕平衡位置来回振动，这真是动画图所表现的图像。图柱体内的振动柱体外的振动问题研究半径为的长圆柱面，其径向速度分布为，试求解这个长圆柱面在空气中辐射出去的声场的中的速度势。设远小于声波的波长。所求的速度势满足二维波动方程，取平面极坐标系，极点在柱轴上，则定解问题是问题的解析解是下式的实部在远场区即大的区域，渐近解为这是振幅按减小的柱面波。下面求解数值解。画两个同心圆和，圆心都在原点，半径分别为和两个值。代表柱体的横切面,表示求解区域的外边界。问题的求解区域是由这两个同心圆组成的环形区域。在外边界上，取狄里克利边界条件表示无穷远函数为零，即,，在内边界上去纽曼边界条件，为,。方程取双曲型，在对话框中取,。方程求解的时间范围可取，初始位移和初速都取零。作图时选择和，最后单击即可......”。

4、“.....在动画中，犹如水波样往外传播。图向外传播的柱面波偶极声源的研究半径为的球面，径向速度分布为，试求解这球面所发射的稳恒声振动的速度势，设远小于声波的波长。用球坐标，极点取在球心，定解问题是在球面的边界条件是即为，上面写成了，这要求在计算结果中也取实部。问题的解析解是上式的实部就是所要求的解。在远场取渐近公式近似，并取实部，得到的解为解析解可以用以下程序作动画，程序中取,,,图是动画中的几幅画面，这是由球面向外传播的球面波。虽然从远场近似解的表达式可以看出远场的极化现象，也就是声波传播具有明显的两极的方向性，但是从近场的表达式是看不出来的，将近场的解析解画出的图形以后，它的极化现象其实更显著。图解析解的表面图图也可以用等值线来作动画演示，只需将指令中下列两句,改为即可。图就是动画中的几幅画面......”。

5、“.....试求解这球面所发射的稳恒声振动势，设远小于波的波长。用球坐标，极点取在球心，定解问题是在球面的边界条件是即为，在上面写成了，这要求在计算结果中也取实部。问题的解析解是取其实部即为所求，在远场可以取渐近公式后再取实部，得解析解可以用以下作动画，程序中取,,图是动画中的几幅画面。这是由球面向外传播的球面波。这种球面波具有明显的个方向性。虽然从远场近似解的表达式可以看出远场的极化现象，也就会声波传播具有很明显的级的方向性，但是从近场的表达式是看不出来这点，将近场的解析解画出图形以后，这种特性就目了然了。图解析解的表面图动画图是用表面图画的动画，也可以用等值线画动画。方法与画偶极声源的方法相同。也是将下列语句,置换为即可，图是等值线动画中的几幅画面......”。

6、“.....刘会灯编程基础与典型应用北京人民邮电出版社，李好，杨春天，王其仁基于工具箱求解数理方程电脑开发与应用彭芳麟数学物理方程的解法与可视化清华大学出版社，第版宋克志，刘智儒。基于语言的有限元法及其应用，烟台师范学院学报自然科学版程序可以作出解得模拟动画。在程序中首先定义函数,它在的范围成立，再定义函数,它在的范围成立。超出这些区域之外的函数值按照上面函数表达式由程序中接下来的个语句来规定。图是动画中的几个画面,图初位移为零初速度不为零的达朗贝尔公式图形在程序中，若将语句改为或就可以看到如图所示的的波形在向左移动或的波形向右移动。图维波动图形开始时的波形开始时的波形两端固定的弦振动问题设初速度为其余它的解析解是它的系数是取用以下的程序可以作出解析解的动画。在此用了子函数来计算级数中的各项，然后在主函数中调用。,,当求和项数为时......”。

7、“.....振幅会逐渐减小，假定阻尼与速度成正相关关系，定解问题是,,,首先将方程写成差分形式整理后得在使用上式表示初始条件时，初速为零可以表示为在程序中，位移由,表示，由初速为零和初位移的表达式可以求出然后利用上式可以求出全部数值解。所用程序如下，其中。,,,下面的图中的图展示了运动开始时的上下最大的振幅，图表示运动结束时上下最大的振幅。可以明显地看到，振幅已经减小了。图有阻尼的解析解图形有驱动力的弦振动问题如果有驱动力，即使初始条件全图是其中的几个画面。由于各处的质量密度不同，所以运动的状态差异很大，可以看到，开始时，波很快的向右边的密度大的区域运动，但是它的振幅却是衰减的，因为这个区域的弦较重......”。

8、“.....端受迫作谐振动，弦的初位移和初始速度都是零，求弦的振动。定解问题是这个问题的解是可以用动画来表现这个解。图是动画中的幅画面，可以看出，固定端直保持不动，而作谐振动的端使弦也产生了种在传播的振动。这相当于将根绳的端固定，而周期性的摆动另端时，在绳上所产生的运动。图解析解的动画图形也可以用瀑布图形来表示这个过程，如图所示。由于数据过多，在此选取部分数据作图。图解析解的瀑布图形为了使振动在弦中较慢,而振动源的振动速度较快但振动幅度不大。实际的程序如下,程序中取,。以此恰能展现较好的演示效果。,杆的纵振动研究长为的杆，两端左右，初始位移为，初始速度为零，研究它的运动，定解问题是问题的解是,其中,用偏微分方程工具箱求解这个问题。我们用二维的图形来表示维的杆，杆的侧面不受力左端固定......”。

9、“.....在下选择轴范围，轴范围为。以原点为顶点画个长为宽为的矩形，矩形顶点为,按照题意，矩形的四个边界都取其次的诺伊曼边界条件，即,。方程的设置是型，系数是,。为了足够的精度，将初始化的网格作了两次细分，在解方程的参数设置对话框中，将设为，为，设为，其余不变。而作图选项对话中，各项选择如下在下，选。在下，对应的位置中都，在下，再在相应的位置都输入，这样做的目的是，弦的振幅太小，为了达到更好的显示效果，所以将振幅放大倍来画图。图是其中的两幅画面。图用工具箱所得数值解的图形用软件研究膜的振动问题膜的振动问题用偏微分方程工具箱求解十分方便，可以很快完成，而使用差分方程编程则比较麻烦，本文的目的是使用软件作计算机模拟，所以对于膜的振动问题在此用偏微分方程工具箱求解。软件自带有两个二维波动方程的例子，在指令窗中输入，演示的是矩形膜振动的例子，在指令窗中输入，演示的是形膜的振动。以下以个矩形膜振动的例子......”。