1、“.....当然每个平面波也具有的平均能量。所以将式乘以，并用体积除，就得到频率之间单位体积的能量表示式，即式。也可将式换为按波长的分布公式,把式表示能量密度,同波长的关系曲线及实验曲线画在图中,可以看出，瑞利金斯公式在长波或高温情况下，同实验结果相符，但在短波范围，能量密度则迅速地单调上升，同实验结果矛盾。其实，对频率从到∞积分式，就得到包括所有频率的能量密度为无穷大的结论，就是说空腔内的平衡辐射场只有当能量密度无穷大时才开始建立，这显然是荒谬的，如图。图瑞利金斯曲线瑞利金斯公式的这严重缺陷,在物理学史上称作紫外灾难，它深刻揭露了经典物理的困难，从而对辐射理论和近代物理学的发展起了重要的推动作用。三晶格振动对固体热容的影响固体可以通过格波的传播而导热，称为晶格热导。绝缘体和般半导体的热传导便主要是靠晶格的热导在金属中，通过电子运动导热则是主要的。金属中自由电子对热容量的贡献在历史上,洛仑兹曾经把金属中自由电子气看作是理想气体......”。

2、“.....个自由电子具有个自由度,它们对热容量的贡献是,这是与实际不符的实验发现除了在极低温度下,金属中自由电子气的热容量基本上可以忽略,问题的最终解决需要通过费米狄拉克分布来完成根据费米狄拉克分布的分析,当时,只有费米球面附近厚度约为宽度内的电子才参与热运动,所以参与热运动的电子数为其中利用了和应用能量均分定理,每个电子对热容量的贡献为,故金属中自由电子气的热容量约为可见,在室温范围内,金属中自由电子气对热容量的贡献远小于经典理论的数值。金属中自由电子气的热容量定量计算可以通过下面费米狄拉克分布来完成电子气的化学势由电子总数满足的关系式电子的内能为以上两个积分可以统写成称为费米狄拉克积分,其中是满足条件的任意函数且取......”。

3、“.....且,将用代替,得再取,有格波作为弹性波来处理，不难预料，在甚低温下，德拜热容理论应与实验相符。在低温下，晶格振动很微弱，原子振幅很小，晶格振动的能量很低。随着温度上升，晶格振动的能量就会增加。晶格振动的能量可以用声子数密度表达，因而对于具有频率的声子而言，其数密度也随着温度的上升而增加。根据量子统计理论，声子是玻色子，而且声子体系可看作化学势为零的理想玻色气体。温度为时角频率为且波矢为的声子数应当为,与之相对应的晶格振动能量应为除去维单原子情形，与统波矢相应的角频率可以不止个不同的频支。因此，与晶格振动相应的固体内能可表示为,其中，乃为第个频支与波矢相应的振动状态模式的声子数......”。

4、“.....参考文献黄昆固体物理学北京人民教育出版社黄昆原著韩汝琦改编固体物理学北京高等教育出版社胡安，章维益固体物理学北京高等教育出版社汪志诚热力学统计物理第四版北京高等教育出版社蒋平，徐至中编著固体物理简明教程上海复旦大学出版社范建中试论德拜模型与固体热容量的关系太原师范学院学报自然科学版范建中关于固体热容量的研究雁北师范学院学报,白巴根那关于对固体热容的探讨内蒙古科技与经济学院学报,张宝金固体热容的统计探讨山东教育学院学报，谭福奎晶格振动对热传导的贡献黔西南民族师范高等专科学校学报,再将上述的表达式代入上式,并利用近似公式,可得于是可得自由电子气热容量为这个结果与定性估计的结果只有系数的差异。图热导微观的示意图二晶格振动对固体热容量的影响晶格的热导并不简单是格波的自由传播。实际上，晶格热导和气体的热传导有很相似之处。格波荷带着晶格的热能，以定的波速传播，就如同气体分子荷带着热运动能力并通过热运动传播热能。我们知道......”。

5、“.....粗略地讲，气体的热导可以看作是在个自由程之内，冷热分子相互交换位置的结果，如图。根据这样简单的理论可以得到热导率，为单位体积热容量，为自由程，为热运动的平均速度。图以形象的方式表明，晶格导热也可以作相同的分析，并且同样可以用热导率的近似公式，只是这时和分别表示格波的波速和自由程。在前面的讨论中，我们用小振动理论简谐振动得到的不同格波是完全独立的，它们可以无限传播，在这种情况下，就不存在自由程。这种情况相当于完全忽略气体分子之间的相互作用。如果真是这样的情况，格波也根本不可能达到统计平衡。实际上，非简谐作用使不同的格波之间存在定耦合。这点是很明显的，前面我们看到引入简正坐标后，直到势能的二次项，不同的简正坐标没有交叉项，因而得到相互独立的运动方程，但是，如果写出势能的高次项非简作用，显然般它们将包含不同简正坐标的交叉项，表明它们在运动过程中彼此相互影响。正是这种非简谐作用保证不同格波间可以交换能量，达到统计平衡，在如热导这样的输运过程中......”。

6、“.....从理论上分析格波导热的自由程是个很复杂的问题，具体分析表明，在较高的温度和德拜温度相比较，。随温度增加自由程下降的原因是容易理解的，因为自由程的限制来自格波之间的相互作用，格波振动随温度增强，相互作用亦加强，从而使自由程减小。而在较低的温度范围，则得到，为个小数字，这表明当温度下降时，自由程将很迅速地增长。这样的温度依赖关系是由于在低温下，能够影响导热的格波相互作用必须有短波参与即高能量的格波波数可以和倒格子原胞的尺度相比参与，就如在爱因斯坦理论看到的那样，这样的格波振动随温度下降而十分陡峻地下降。除去格波相互作用以外，在实际固体中还存在其它各种可以限制自由程的原因，如晶体的不均匀性，多晶体晶界，晶体表明，内部的杂质和缺陷都可以散射格波。特别是在低温下，格波相互作用的影响迅速减弱，自由程将由其它散射所决定，。四结束语固体的比热容般指定容比热容，定义为温度每升高度，固体的平均内能的增加。它有两个来源是晶格振动，称为晶格比热容......”。

7、“.....称为电子比热容。当温度不太低时，电子比热容比晶格比热容小得多，般可以忽略。对于金属材料,其热容量由晶格和电子气两部分贡献所得,低温下金属的定容热容量可表示为在常温下,电子气体部分的贡献小的多,金属中的自由电子仍是很好的简并气体,只有费米面附近的电子对热容才有贡献,主要是晶格部分对金属热容量的贡献但是在极低温度下,晶格的热容量随趋于零,而电子气的热容量则随趋于零,故在极低温度下,电子对金属热容量的贡献将起主要作用这就解决了理论和实验之间的矛盾由热力学已知，定容热容量定义是，对于固体，按与温度的关系，内能由两部分构成部分内能与温度无关，另部分内能与温度有关。对于金属，与温度有关的内能由两部分构成部分是晶格振动能，另部分是价电子的热运动能，当温度不太低时，电子对热容的贡献可以忽略，。按照经典的能量均分定理，每个自由度的平均能量是，半是平均动能，另半是平均势能，是玻尔兹曼常数。若固体中有个原子，总的自由度为，总的能量为，热容量为......”。

8、“.....这结论称作杜隆珀替定律，在高温下，固体热容的实验值与这个定律相当符合，但在低温时，实验值与定律相去甚远，在甚低温下，绝缘体的热容量变得很小，，这说明，在低温下，经典理论已不再适用。爱因斯坦第次将量子理论应用到固体热容问题上，理论与实验得到相当好的符合，克服了经典理论的困难。然而爱因斯坦模型过于简单，它忽略了个格波对热容贡献的差异，在这种情况下，德拜模型诞生了，其基本思想是令，上式可以写成对数中的连加式是个几何级数，可以简单求和代入式得式中前项为常数，般称为点能，后项代表平均热能。对求微商得到对热容量的贡献和经典理论值比较，首先的区别在于量子理论值与振动圆频率有关。对于即，把中指数按的级数展开，就得到和经典理论值致。这个结果在量子理论基础上说明了在较高温度是杜隆珀替定律成立的原因。这结论是容易想到的......”。

9、“.....量子化的效应就可以近似忽略。在的极端情形可以忽略式分母中的，得到这时由于指数因子的为很大的负值，振子对热容量的贡献将十分小。从这里可以看到，根据量子理论，当时，晶体的热容量将趋于,。二爱因斯坦和德拜理论爱因斯坦在进行科学研究的工作中，对晶体振动采用了很简单的假设，他假设晶格中各原子的振动可以看作相互独立的，所有原子都具有同频率。这样，考虑到，每个原子可以沿三个方向振动，共有个频率为的振动，由直接得到我们用和个晶体的热容量实验值比较时，可以适当选定使理论值与实验值尽可能符合。图表示理论值和实验值的比较。和经典理论比较，爱因斯坦理论的改进是十分显著的，理论能够反映出在低温时下降的基本趋势。但是在低温范围，爱因斯坦理论值下降很陡，与实验不相符。图爱因斯坦理论和实验比较圆点为金刚石实验值，温度取为单位在热容量理论的进步发展中，德拜提出的理论获得了很大的成功......”。