1、“.....初始条件决定,的数值，而其中的瞬态解是之前的两项，瞬态项能够对于整个系统的自由衰减振动进行有效描述，而所能够起作用的只是在震动的开始阶段，而当经历比较长的时间之后，瞬态解所起到的影响则会逐渐的减弱并且在最后阶段消失。稳态解则是之后的两项，稳态解则是对于系统受到驱动力的作用之下进行强制振动的状态进行描述，这主要是由于立足于恒定的幅值条件下，从而将这种状态称之为稳定振动。从以上的公式可以得到，如果质点振动系统受到外力作用之后，整个系统有着比较复杂的振动状态，这属于稳态振动和自由衰减振动两者的有机合成体，在这样的振动状态之下对于强迫振动当中逐步建立稳态振动的过程进行有效描述。如果经历定时间之后，就会消失瞬态振动，使得整个系统保持着稳态振动的状态。常数变易法从之前的分析当中可以了解到这属于特征方程的实根......”。

2、“.....然后通过常数变异法设置，那么在这过程当中也可以得到方程的个解为，把数值代入到当中并且进行简化之后可以得到以上属于的阶线性微分方程,并且在方程当中个特解为,从而得出的个特解为取,从而可得的通解由之前可知将数据代入公式中可以得到按照自己所做的观察可以发现，在进行求解的过程当中使用常数变异法，首要就是必须得出公式，而在之前的研究当中可以得到公式齐次线性微分方程的特征方程为。这样就可以进步的假设特征方程的根为，那么这就是公式的个解。由常数变易法可设为与情形中的解法类似，将代入并化简得由于是特解,则积分常量可以都取零。拉普拉斯变换法依然使用之前的例子，由牛顿第二运动定可以得到以下的公式,将这公式代入数据之后可以得到,由于质点通过开设的静止状态逐步运动......”。

3、“.....,对方程进行拉普拉斯变换,得到,即,把上式右端分解为部分分式,由拉普拉斯变换表可得。总结及意义总而言之，现在常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制各种电子学装置的设计弹道的计算飞机和导弹飞行的稳定性的研究化学反应过程稳定性的研究等。现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在个区间是否收敛等。另外，对于二阶常系数非齐次线性微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有些特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进步的发展......”。

4、“.....参考文献瑞典戈丁著,胡作玄译数学概观科学出版社,赵慈庚,朱鼎勋主编大学数学自学指南中国青年出版社,王高雄等编常微分方程高等教育出版社,李瑞遐,何志庆编著微分方程数值方法华东理工大学出版社,余德浩,汤华中编著微分方程数值解法科学出版社,胡燧林阶方程初值问题解的存在与唯性定理的几点注记韶关学院学报弭鲁芳,纪在秀论类常微分方程解的最大存在区间聊城大学学报自然科学版赵慧娟,陈伟丽,赵晨霞,袁书娟关于常微分方程初值问题数值解法的分析中国科教创新导刊李孝诚,刘兆丽常微分方程解题模式的构建高等数学研究韦程东,高扬,陈志强在常微分方程教学中融入数学建模思想的探索与实践数学的实践与认识舒小保类二阶常微分方程边值问题的无穷多个解系统科学与数学为任意数如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现设是特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的......”。

5、“.....根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解这样来,对应于特征方程的对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解,特征根有重根的情形设特征方程有重根,则众所周知,,先设,即特征方程有因子,于是,也就是特征方程的形状为,而对应的方程变为易见它有个解,而且它们是线性无关的这样来,特征方程的重零根就对应方程的个线性无关的解如果这个重根,我们作变量变换,注意到,，可得,于是对应方程化为,其中仍为常数,而相应的特征方程为,直接计算易得,因此......”。

6、“.....这样,问题就化为前面讨论过的情形了常数变易法常数变易法是求解微分方程的种很重要的方法,常应用于阶线性微分方程的求解。在常数变易法中，通过将常数放入当中就可以得到非齐次线性方程的通解。它是拉格朗日十年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其个特解,再运用特征方程法求得方程的通解求常微分方程的通解解方程对应齐次方程为,其特征方程为由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其个特解若为上面方程的实根,则是方程的解由常数变易法设的个解为......”。

7、“.....对原来问题反着进行解释，其中最为关键的因素就是要将方程列出，而列出方程的方法主要有微元分析法和瞬时变化法。而在对阻尼振动进行研究的过程当中，对运动方程所进行的求解这问题显得比较复杂，以下就分别使用特征值法常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程。特征方程法例如在弹簧振子系统当中，测试出物体的阻尼系数，物体质量,该弹簧所具备的劲度系数,在此背景下，假设整个质点从静止状态开始逐步运动，求解弹簧振子的位移方程。解按照牛顿的第二运动定律的结果可以得到,或,相对来说振动系统这是之前给定的，其中的常量为，如果可以确定,,那么以上的方程式可以转变为,那么把所得到的数据代入公式就可以得到通过对以上公式的细致观察和研究则可以得到对其进行求解能够使用特征值法......”。

8、“.....并且在这特征方程当中包含有两个分别根,,这样相对应的则的两个根分别为,那么按照公式进行计算可以得到固有角频率数值为，在这时候阻尼系数值为,也就是说,则方程的解可以表述为初始条件觉得,数值在公式当中，所保持的属于个非振动状态，在如此背景之下，所存在的质点也只是在原先的不平衡位置逐步恢复到平衡状态当中，质点并不具备周期振动的特征。而我们的关注点是在基于此种情况下,质点呈现出逐渐衰减的振动。可是正是由于受到阻尼作用的影响，不能够长久的维持这种自由振动系统的振动，通常都会经历着从振动的逐渐衰减延续至振动停止，为了保持震荡持续不停的状态，就必须不断的从外界当中获得必要的能量，学术界将这种因为受到外部持续作用而产生的振动归纳成为强迫振动。又例如案例假如在以上的振动系统当中受到个外力的作用......”。

9、“.....则表示为驱动力所拥有的圆频率，也就是驱动力所保持的频率。解在质点振动系统当中受到驱动力的作用，那么就可以得到关于系统振动的方程为,或者还可以将上述公式改成在以上的公式当中表示为在单位质量上面所受到的外力幅值。与这两个方程式都属于质点强迫振动方程。从本质上来看，这种强迫振动方程属于二阶的非齐次常微分方程，这个方程所得到的般解也就是这个方程所得到的个特解和相对应的齐次方程般解两者之和。由于在之前的篇幅当中已经得到相对应的自由振动方程的般解，这就导致其在的关键问题就是对于当中的个特解进行寻找，把所得到的数据代入到当中就可以得到得,这是关于的阶线性微分方程,其个特解为,从而得上面方程的个特解为若为上面方程的复根,我们可以设且，则是方程的解，根据常数变易法可设其个特解为......”。