1、“.....则是区间上的凸函数的充要条件是定理若则是区间上的严格凸函数函数的凹凸性应用例设在,上二次可微，且,,证明证明因为在,上，所以是单调增加的，即有，于是，从而，方法由于在,上，，所以为严格凸函数，对任意的,，记,，且，于是，即并对从到积分吉首大学毕业论文，令，则即，因此方法作辅助函数,，则，，由于，所以当时，即在,上严格递增所以，当，有,故在......”。

2、“.....即亦即利用概率论方法证明积分不等式在概率论中，连续性随机变量的概论分布函数，数学期望与积分有定联系，这使得用概论论思想方法证明些积分不等式成为可能定理设为随机变量，若为连续上凸函数，则有若为连续下凸函数，则有吉首大学毕业论文定理不等式若,是个二维随机变量,则有例设为在,上连续的下凸函数，则证明设随机变量的概率分布及概率密度分别为为下凸函数，由定理知成立,此即又......”。

3、“.....可得综上可知原不等式成立用概率论思想方法证明积分不等式，关键在于构造概率分布函数和概率密度函数本节各证明过程中涉及到的随机变量都是维连续的如果构造适当的二维连续随机变量，还可以用概率论的方法证明许多与二重积分相关的不等式吉首大学毕业论文参考文献华东师范大学数学系数学分析上北京高等教育出版社，复旦大学数学系数学分析北京高等教育出版社，钱吉林等主编数学分析题解精粹武汉崇文书局，魏宗舒等编概率论与数理统计教程北京高等教育出版，刘玉链数学分析讲义北京高等教育出版社，裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社,胡克解析不等式的若干问题武汉大学出版社,段琦若干积分不等式的证明及应用绵阳师范高等专科学校学报，即利用二重积分证明积分不等式例设,在,上连续且单调增加，求证分析右端出现了两个积分......”。

4、“.....上有二阶连续导数，证明吉首大学毕业论文证明方法由泰勒公式有两边在,上积分并注意到得，从而得方法令，则且牛顿莱布尼兹公式，由泰勒公式有等式例设函数在,上有连续二阶导数,,,，试证证明因......”。

5、“.....故在,内恒正或恒负否则由介值性知必有零点在,内，与矛盾，不妨设的情况类似可证，,,因在,上连续，故存在,，使得，于是对任意有吉首大学毕业论文下面我们来恰当地选取得到所需的估计注意到，应用公式得，令,，则因为，所以得证构造辅助函数证明积分不等式当已知被积函数连续，并没有告知可导时，通常用此法最为方便，主要通过构造辅助函数利用单调性证明只需将结论中的积分上下限换成变量，移项使不等式端为，则另端即为所作的辅助函数例设为,上的非负单调非增连续函数即当时，证明对于,有下面的不等式成立证明令,则吉首大学毕业论文又为......”。

6、“.....得,,所以单调递增，而又，所以,故即例设在,上连续，且，求证证明作辅助函数，因此,是单调递增的,又因，故,有利用函数的凹凸性证明积分不等式函数的凹凸性的有关概念性质定义设是区间上的函数若,,,总成由得所以利用不等式证明积分不等式定理不等式对任意个数恒有，其中等号当且仅当与成比例时成立吉首大学毕业论文我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式......”。

7、“.....上连续证明设,由,连续，则所以在,上单调减少，则,即得到结论例已知函数，在,上连续，,为任意实数求证证明由施瓦兹不等式，有同理吉首大学毕业论文由,得利用反证法证明积分不等式当命题只对个别点成立时，最好使用反证法例设函数为,上连续，，,求证存在点当时，使证明反证法若时，则因此由于是连续的，必有或,这与相矛盾所以存在点当时，使利用缩放积分区间来证明积分重积分，......”。

8、“.....我们常会遇到这样的问题有些函数可积，但原函数不能用初等函数来表达，或者说这种积分积不出，无法应用公式求出如，这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算另种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或些性质例如设函数在,上连续可微，且，求因此我们希望对积分值给出种估计为此我们来研究积分不等式我们把含有定积分的不等式称为积分不等式，都是积分不等式根据不同积分不等式特征，采取不同的方法此法不论对初等数学和高等数学都有定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用积分不等式的证明方法利用定积分的定义证明积分不等式主要是利用定积分的定义，通过将闭区间,分割求和并求时和的极限比较积分大小则可通过比较和的极限来实现例设在,上连续，且......”。

9、“.....在这种条件下利用定积分的定义将区间割求极限比较简单证明现将,等分，则由于吉首大学毕业论文当时，即函数为常值函数时，上式等号立两边取对数得两边在取极限得即得利用定积分的基本性质证明积分不等式例已知在,上连续，对任意的,都有......”。