1、“.....即这相当于把个球放到个盒子里。由于，根据鸽巢原理，存在个,和，，使得。不失般性，不妨令，由于所有的是不同的实数，故对应的,必须满足如若不然，设，有，则可把元素加到从开始的长度为的单调增子序列的前面，构成从开始的长度为的单调增序列，这和是的最长增序列的假设矛盾。但序列本身第个单调减子序列。这就证明了若不存在个元素的单调增子序列，便存在个由个元素的单调减子序列。同样的办法可证，若不存在元素个数为的单调减子序列，则必然努乃个元素个数为的单调增子序列。证明对于序列中的每个元素对应有个数偶是从开始自向后选出的单调增子序列中元素个数最多的子序列长度，是从开始自向后选出的单调减子序列中元素个数最多的子序列长度。于是对应于序列有其中......”。

2、“.....根据鸽巢原理，中至少有对数偶,完全满足。即，或,由于序列的元素为不相等的实数，不妨设。若，则将导出，与相矛盾若，则，与相矛盾。例俱乐部有名成员。对每个人，其余的人中恰好有个愿与他打网球，个愿与他自下象棋，个愿与他打乒乓球。证明该俱乐部至少有三个人，它们之间玩的游戏三种俱全。分析将每个人作为平面上点，且任何点不共线。由每点引出条红边条蓝边条黑边，分别代表打网球下象棋打乒乓球。问题等价于要证明图中至少有个三边颜色全部相同的三角形。证明考虑由这个点的所有连边构成的异边角即两条异色的边构成的角的综述。每个顶点处有个异色角，所以平均每个三角形有个异色角。因此，至少有个三角形有个异色角，那么，这个三角形的三条边当然互不同色。第章问题理论起始于世纪年代末年代初，最初由英国数学家提出。其思想已日益被人们理解接受并得到了定的完善......”。

3、“.....并最终形成了理论个揭示深层数学原理的理论，它从很大程度上推广了鸽笼原理也叫做广义鸽巢原理,并告诉我们无论以什么方式将个庞大的体系分解成些小的部分，其中必定存在个小的子体系。尽管的鸽笼原理已经保证了无论物体之间的关系如何，我们都能够得到许多类型相同的物体，然而我们在理论中寻找的是相同类型的子结构我们不仅想要得到无穷多的红边，而且我们还想得到与这个红的无穷集相关联的点双方组成的结构。下面只是简单介绍下的有关问题。问题设平面上有个点，任意三点都不共线，将这些点两两之间连线段，构成的图形称为完全图，记为。提法经观察，在个或个以上的人群中，必有人互相认识，或有人彼此不认识。而将人数降到个或更少时，此有趣的现象就可能消失。于是成为具有这特性的最小人数。提法二当时，若对的每条边随意涂以红蓝两色之，那么，上至少可以找到个同色。而当时，至少可以给出种涂法......”。

4、“.....如图所示，当时，按图中的涂法，是不存在同色的其中实现表示蓝色，虚线表示红色。图提法三设集合,，令,即上所有二元子集类，再用,表示的个二分拆即，,,,,,致谢我再写毕业论文期间，孙老师对我的工作进行了全面具体的指导。孙老师渊博的学识敏锐的思维民主而严谨的作风是我受益匪浅，并终生难忘。感谢于老师高老师，在进行毕业论文工作中所给予的帮助。感谢资料室的老师的关心和帮助。感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助。，可空。那么，当时，对集合中的元素，下面结论至少有个成立存在个元素，其全部二元子集都属于存在个元素，其全部二元子集都属于。而当时，结论未必成立。三种提法各有利弊，提法比较直观，提法二便于分析，提法三有益于理论推广。证明在完全图中任取个顶点记为，由鸽巢原理，以为端点的条边至少有条是同色的。不妨设边都为红色，先考虑连接的条边......”。

5、“.....则就是个蓝色三角形。否则，条边中至少有个为红色假设为，则就是个红色三角形。命题得证。问题的般化将顶点数扩大，例如，用红蓝两色对的边着色，则必出现同色的或同色的，但对着色则不能保证有上述结果对而言，存在同色的或对的边涂以红蓝两色，则存在同色的，那么，对，能否存在同色呢引理若将涂以红蓝两色，则必存在个顶点，从此点引出的条线段中，同色的线段或多于条，或少于条。证明反证法假如不存在这样的顶点，记从每顶点发出的线段中，红色蓝色线段都是条，现在对个顶点逐点统计有它们发出的红色蓝色线段的条数，应为条。另方面，设中实有红色蓝色线段共条，现在对这条边的每个断电逐点统计有它们发出的红色蓝色线段的条数，由于每条线段有两个端点，故应为。于是得出，与为整数矛盾。引理得证。定理若将涂以红蓝两色，则必出现同色的或同色的。证明从引出的条线段中，红色线段多于条，即至少有条，不妨设为再看出这个顶点构成的......”。

6、“.....则它的两个端点与便构成个红色的，否则，该的所有的边全为蓝色，既存在同色。若红色线段少于条，那么，从引出的蓝色线段至少有条，不妨设为再看由，这个顶点构成的，由前述结论，中必有个同色，若是红色的，结论已真若为蓝色，则该的个顶点与起便构成个蓝色，结论亦真。当时，可以给出种涂法，使得染色后的中既无实线，由无虚线。如图所示图结论通过近四个月的努力，论文终于完成了。在过去的几个月里，我独立的找寻资料，分析整理资料，并对有用的部分加以概括。然后根据资料确定写作方向，并列了论文提纲。在大纲的指导下，如期完成了论文。通过写论文的过程，我对鸽巢原理有了更深的认识。以前我直鸽巢原理单纯只是个规律，没有任何作用。通过学习，我知道是组合数学中两大基本原理之，是个简单而又应用广泛的数学原理。其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。但是若能灵活应用，便可能得到些意想不到的结果。但由于时间有限......”。

7、“.....有很大的提升空间。望老师批评指正。参考文献卢开澄卢华明，组合数学，第四版，北京清华大学出版社。姜建国越建国，组合数学，西安电子科技大学出版社。李乔，组合数学基础，北京高等教育出版社。杨振生，组合数学，合肥中国科技技术大学出版社。何春，万琳，任雅莉，鸽巢原理及其应用，计算机与数字工程。储民，鸽巢原理的妙用，科技信息。蒋洪，关于鸽巢原理和定理的几个结论，科教文汇中旬刊。石立叶，于娜，刘文菡，抽屉原理及其应用，今日科苑。唐善刚，广义容斥原理的应用，佳木斯大学学报自然科学版。邬毅，于静静，容斥原理的应用，西安文理学院学报自然科学版。李申艳，叶权波，容斥原理在数论中的应用，魅力中国。崔军，容斥原理及其简单应用，新疆广播电视大学学报。许康华，黄庆学，定理的种推广，浙江大学学报理学版。兰社云，高喜梅，浅谈抽屉原理及抽屉构造，河南教育学院学报自然科学版。只有个奇数，由抽屉原理知......”。

8、“.....设这两个数为，它们分别代表的整数为和,不论它们谁大谁小，和也之间总存在倍数关系，即个数是另个数的整数倍。例证明对任意给定的个整数，存在其中的两个整数，要么两者的和能被整除，要么两者的差能被整除。证明任意个整数除以产生的余数不外乎为。题目中的个整数除以则产生个余数，。如果这个余数中有两个余数相等，即，那么定能被整除。即存在两个数，它们的差能被整除。如果这个余数均不相等，我们现在对这个数来构造抽屉，将相加之和为的两个数放在同个抽屉里。构造出来的个抽屉如下由于有个不同的余数，根据鸽巢原理，必有两个余数来自同个抽屉，这只能从前个抽屉中取出。而不论从哪个抽屉取出，同个抽屉里的两个余数之和为，那么定有产生这两个余数的两个整数之和能被整除。例证明对任意个正整数存在两个正整数和，使得能够被整除至少存在整数和，使得和是倍数......”。

9、“.....个整数，除以则产生个余数，由于个整数除以最多只能产生个不同的余数即个抽屉，故根据鸽巢原理，这个余数中，定有两个相等。那么，产生相等余数的两个整数相减，其差定能被整除。构造个数列，，，，则有两种情形若有个是的倍数，得证。设在上面的序列中没有任何个元素是的倍数。令，其中。假定上面的序列中所有的项都非的倍数，故其中，无位，而且所有的均小于。不超过的的正整数只有个。根据鸽巢原理，其中至少存在对满足。即和满足不妨设。，，，得证。例证明这个整数，取出个，如果其中个小于，则个数中必有个可以被其中的另个除尽。证将的数,,为奇数。则，有个数。有,。从这个整数，取出个，。若中有，，由。若，若，有，使。若，若，有，使，有，使，有......”。