1、以下这些语句存在若干问题，包括语法错误、标点使用不当、语句不通畅及信息不完整——“.....使得的最小正整数叫作元素的阶，记作子群群的个子集叫做的个子群，如果它对于群的运算也构成个群。群至少有两个子群，本身以及由的单位元构成的子集，称为的凡子群，而其他的子群叫做真子群。正规子群陪集设是的个子群，称集合为群关于子群的个左陪集，叫做的个代表元。设是的个子群，称集合为群关于子群的个右陪集，叫做的个代表元。指数群关于子群的的左陪集或右陪集的个数叫做子群在中的指数。记作当个数是无限时，记作特别地，有限群的阶，其中是群的单位元。正规子群群的子群叫做个正规子群，如果任取，都有论文编码......”。

2、以下这些语句存在多处问题，具体涉及到语法误用、标点符号运用不当、句子表达不流畅以及信息表述不全面——“.....，其中，是恒等置换，，，。参考文献赵春来，徐明曜，抽象代数，北京大学出版社年月第版，高等近世代数，伊利诺伊大学致谢本设计的完成是在我们的导师徐竞老师的细心指导下进行的。在每次设计遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行。从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了徐老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢,导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终生,还要感谢和我同学习的几位同学，是你们在我平时论文的编写中和我起探讨问题，并指出我论文中的误区，使我能及时的发现问题把论文顺利的进行下去，没有你们的帮助我也不可能这样顺利地结稿，在此表示深深的谢意。......”。

3、以下这些语句在语言表达上出现了多方面的问题，包括语法错误、标点符号使用不规范、句子结构不够流畅，以及内容阐述不够详尽和全面——“.....商群设是群，是的正规子群，则的陪集，在乘法运算下构成群，称为关于的商群，记作证明首先，，故非空其次，由于对于乘法封闭，即陪集乘法确实是上的二元运算确切的说，有次乘法显然满足结合律又，所以是的幺元最后易见是的逆元这就证明了在陪集乘法下构成群作为特殊情形，所有群的子群都是正规子群，所以对于群的任子群都可以构造相应的商群例如，整数加法群是群，对于任意正整数，是的正规子群，此时相应的商群为，其中这个群是阶循环群，生成元是二循环群定义设是群，是的子集，则称的所有包含的子群的交为由生成的子群，记作如果......”。

4、以下这些语句该文档存在较明显的语言表达瑕疵，包括语法错误、标点符号使用不规范，句子结构不够顺畅，以及信息传达不充分，需要综合性的修订与完善——“.....使得则称关于运算构成个群，记为，群中若还成立以下交换律对于任意，，则称为交换群或群群所含的元素个数称为群的阶群的阶记为如果∞，则称为有限群，反之称为无限群例整数集合，有理数集合，实数集合，复数集合关于加法都构成群非零有理数集合，非零实数集合，非零复数集合，正实数集合关于乘法都构成群例设是个正整数整数集合模的剩余类关于加法构成群，它包含个元素与互素的剩余类关于乘法构成群它包含个元素，为函数群的基本性质群的单位元惟群中任意元素的逆元惟群中有消去律，即蕴含左消去律，蕴含右消去律证明设和都是群的单位元，则有设，都是群中的逆元，则有设两端左乘的逆元，得，而，故有同样可证右消去律群的阶数设是个群，如果，都有，则称为无限阶元......”。

5、以下这些语句存在多种问题，包括语法错误、不规范的标点符号使用、句子结构不够清晰流畅，以及信息传达不够完整详尽——“.....所以群的定义的第条成立。另外，变换的乘法满足结合律是显然的，且单位元就是恒等变换，群的定义的第条也成立。所以，的全体自同构关于变换的乘法作成个群。例求解四元群的自同构群。解。因为是自同构，则必有幺元变成幺元。又因为是双射，所以，其中是的全排列。而其中每个全排列不定全都是自同构，但根据的运算特点，可以得出这些全排列都是的自同构。例如，设，，则可以验证它是的自同构，，由于的全排列共有个，与同构，因此的全体自同构也有个，。五结论定理无限循环群必同构于整数加法群有限循环群必同构于整数加法群的个商群证明设是循环群，定义映射，显然就是群的满同态，如果∞，设......”。

6、以下这些语句存在多方面的问题亟需改进，具体而言：标点符号运用不当，句子结构条理性不足导致流畅度欠佳，存在语法误用情况，且在内容表述上缺乏完整性。——“.....商群设是群，是的正规子群，则的陪集，在乘法运算下构成群，称为关于的商群，记作证明首先，，故非空其次，由于对于乘法封闭，即陪集乘法确实是上的二元运算确切的说，有次乘法显然满足结合律又，所以是的幺元最后易见是的逆元这就证明了在陪集乘法下构成群作为特殊情形，所有群的子群都是正规子群，所以对于群的任子群都可以构造相应的商群例如，整数加法群是群，对于任意正整数，是的正规子群，此时相应的商群为，其中这个群是阶循环群，生成元是二循环群定义设是群，是的子集，则称的所有包含的子群的交为由生成的子群，记作如果......”。

7、以下这些语句存在标点错误、句法不清、语法失误和内容缺失等问题，需改进——“.....其中是欧拉函数即小于且与互素的正整数的个数。证明由于在同构映射中，循环群的生成元对应生成元，而确定了生成元的对应关系也就能够确定群中其他元素的对应关系。所以，个循环群有多少个生成元也就具有多少个自同构。例如，设是个由生成的循环群，那么显然，当是小于且与互素的正整数时，也是的生成元，即。此时，令，，则有，且时，，，即是的自同构。由于无限循环群只有个生成元，阶循环群只有个生成元，所以其自同构群分别为阶循环群和阶的群。例求，，阶循环群的自同构群。解，两个生成元为从而，，其中是恒等置换，。求，，阶循环群的自同构群。......”。

8、以下文段存在较多缺陷，具体而言：语法误用情况较多，标点符号使用不规范，影响文本断句理解；句子结构与表达缺乏流畅性，阅读体验受影响——“.....且的子群与非负整数对应，确切的说，每个对应子群有限阶循环群的子群与的正因子对应，确切的说，的每个正因子对应于的唯的阶子群证明首先，我们应证明循环群的子群仍是循环群设如果，则为生成的循环群若，令是的元素作为的方幂出现的最小的正整数，即，易见，事实上，对于任意，设，则由的最小性知，即故反之显然有这就证明了是循环群现设是无限循环群，设，则所以由于的任子群意的两个自同构，那么对于，，就有，也就是说也是的个自同构。这就说明，所有自同构关于变换的乘法是封闭的。又因为对于有......”。

9、以下这些语句存在多方面瑕疵，具体表现在：语法结构错误频现，标点符号运用失当，句子表达欠流畅，以及信息阐述不够周全，影响了整体的可读性和准确性——“.....设就有于是，，矛盾于∞所以由同态基本定理即知形如，所以定理中所述的对应应该是满射易见故如果，则这说明上述对应是单射，从而对应再设设，，为的阶子群我们来证明，是的唯的阶子群事实上，设也是的阶子群，则，故，所以，和意味着，于是但，所以这就证明了阶子群的唯性，亦即定理中所述的对应是单射由于的子群的阶是的因子定理，所以该对应应是满射，故为对应三同构定义，是两个群，ƒ称为由到的个群同态，如果ƒ保持群运算，即对于所有的，∈，都有ƒƒƒ如果ƒ又是单满射，则称ƒ为单满同态既单又满的同态成为同构如果存在由到的个同构，则称同构于，记为≌群到自身的同态和同构成为群的自同态和自同构同态基本定理设ƒ是群同态......”。