轴上也有相应的关系对于方程𝑥𝑎−𝑦𝑏，定点，对应的定直线为𝑎𝑐，定点，对应的定直线为𝑎𝑐，焦点在轴上也有相应的关系典型例题曲线上的点，到定点，的距离和它到定直线的距离的比是常数求曲线的方程解设是点到直线的距离，根据题意，曲线上的点满足𝑀𝐹𝑑由此得𝑥𝑦即有𝑥𝑦，将上式两边平方，并化简得𝑥−𝑦直线与圆锥曲线位置关系的判断方法判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程，不同时为代入圆锥曲线的方程，消去也可以消去得到个关于变量或变量的方程，即𝐴𝑥𝐵𝑦𝐶𝑦，消去得当时，则有，直线与曲线相交，直线与曲线相切，直线与曲线相离当时，即得到个次方程，则与相交，且只有个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行若为抛物线，则直线与抛物线的对称𝑥𝑥𝑥𝑎𝑏𝑎𝑎𝑐𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎则由弦长公式，得𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎化简，得联立，得，故椭圆的方程为𝑥的方程并化简，得设直线与椭圆交于点，由根与系数的关系，得𝑎𝑏𝑎，𝑎𝑐𝑏𝑏𝑎从而𝑥分析由直线方程的特点，知直线恰好过椭圆的两个顶点，即有，把直线的方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解解由被截得的弦长为，得设，代入椭圆典型例题已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏，直线𝑥𝑎−𝑦𝑏被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程思路𝐵𝐴，𝐶𝐴所以，两点间距离为𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥，即弦长公式也可以写成关于的形式，其弦长公式为𝑘�𝐹𝑥，𝑦的两组解方程组消元后化为关于或者的元二次方程判别式，应有所以，是方程的解由根与系数的关系求出根与系数的关系法不求交点坐标，直接用根与系数的关系求解直线曲线与的两个不同的交点则，是方程组𝑓�线，相交于，两点，求弦的长可用下列两种方法求交点法把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点，的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦的长，般地说，这种方法较为麻烦当时，⇒直线方程为直线方程有三条，分别为点评直线与抛物线的位置关系，主要用代数法，联立方程组，利用判断注意二次项系数为零的情况若直线与圆锥曲个公共点的直线方程思路分析设出直线方程，注意斜率不存在的情况解当斜率不存在时，当斜率存在时，设直线为，由𝑦𝑘𝑥消去，整理，得当时或时，直线与双曲线有且只有个公共点当时，直线与双曲线没有公共点点评在解决此类问题时，可结合图形，利用数形结合法来分析各种情况，以防漏解典型例题求过且与抛物线只有，即时，当𝑘，𝑘，即时，方程有两个相同的实数解当𝑘，𝑘，即时，方程无实数解综上所述，当由𝑥𝑦消去，整理，得当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，方程可化为，故此时方程只有个实数解当线与双曲线有且只有个公共点直线与双曲线有两个公共点直线与双曲线没有公共点思路分析在解决直线与双曲线位置关系时，对消元后的方程的二次项系数是否为零应分类讨论，且要结合判别式讨论解直线与椭圆有公共点即的取值范围为，典型例题已知双曲线，直线，试讨论实数的取值范围，使直及直线，当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围思路分析利用方程组解的情况来判定，主要是联立方程消元后，转化为元二次方程用根的判别式来判定解由𝑥𝑦得点还是切点直线与双曲线有两个公共点时，应注意是在支上有两个交点，还是在两支上各有个交点主要是运用数形结合，判断直线的斜率存在与否及找出与渐近线的斜率𝑏𝑎的关系等典型例题已知椭圆点还是切点直线与双曲线有两个公共点时，应注意是在支上有两个交点，还是在两支上各有个交点主要是运用数形结合，判断直线的斜率存在与否及找出与渐近线的斜率𝑏𝑎的关系等典型例题已知椭圆及直线，当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围思路分析利用方程组解的情况来判定，主要是联立方程消元后，转化为元二次方程用根的判别式来判定解由𝑥𝑦得直线与椭圆有公共点即的取值范围为，典型例题已知双曲线，直线，试讨论实数的取值范围，使直线与双曲线有且只有个公共点直线与双曲线有两个公共点直线与双曲线没有公共点思路分析在解决直线与双曲线位置关系时，对消元后的方程的二次项系数是否为零应分类讨论，且要结合判别式讨论解由𝑥𝑦消去，整理，得当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，方程可化为，故此时方程只有个实数解当，即时，当𝑘，𝑘，即时，方程有两个相同的实数解当𝑘，𝑘，即时，方程无实数解综上所述，当或时，直线与双曲线有且只有个公共点当时，直线与双曲线没有公共点点评在解决此类问题时，可结合图形，利用数形结合法来分析各种情况，以防漏解典型例题求过且与抛物线只有个公共点的直线方程思路分析设出直线方程，注意斜率不存在的情况解当斜率不存在时，当斜率存在时，设直线为，由𝑦𝑘𝑥消去，整理，得当时当时，⇒直线方程为直线方程有三条，分别为点评直线与抛物线的位置关系，主要用代数法，联立方程组，利用判断注意二次项系数为零的情况若直线与圆锥曲线，相交于，两点，求弦的长可用下列两种方法求交点法把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点，的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦的长，般地说，这种方法较为麻烦根与系数的关系法不求交点坐标，直接用根与系数的关系求解直线曲线与的两个不同的交点则，是方程组𝑓𝑥𝐹𝑥，𝑦的两组解方程组消元后化为关于或者的元二次方程判别式，应有所以，是方程的解由根与系数的关系求出𝐵𝐴，𝐶𝐴所以，两点间距离为𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥，即弦长公式也可以写成关于的形式，其弦长公式为𝑘典型例题已知椭圆𝑥𝑎𝑦𝑏，直线𝑥𝑎−𝑦𝑏被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程思路分析由直线方程的特点，知直线恰好过椭圆的两个顶点，即有，把直线的方程代入椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解解由被截得的弦长为，得设，代入椭圆的方程并化简，得设直线与椭圆交于点，由根与系数的关系，得𝑎𝑏𝑎，𝑎𝑐𝑏𝑏𝑎从而𝑥𝑥𝑥𝑥𝑎𝑏𝑎𝑎𝑐𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎则由弦长公式，得𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎化简，得联立，得，故椭圆的方程为𝑥𝑦反思解决直线与圆锥曲线的交点弦问题常用根与系数的关系及弦长公式典型例题已知斜率为的直线被双曲线𝑥−𝑦所截得的弦长为，求直线的方程思路分析设出直线方程，列方程组，利用弦长公式求解解设直线方程，设与双曲线𝑥−𝑦的交点为，由𝑥𝑦化简得，则𝑏，𝑏由得𝑥𝑥𝑦𝑦，化简整理得𝑏，解得所求直线的方程为点评涉及直线与圆锥曲线弦的有关问题时，常将直线与圆锥曲线方程联立，消元后借助根与系数的关系�椭圆方程为𝑦设点且的中点为，则𝑦𝑥，𝑦𝑥两式相减，得𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑘由于点，𝑘在椭圆𝑦的内部解得或直线倾斜角的取值范围是，，反思当题目涉及中点弦且已知中点坐标或中点的个坐标时经常采用点差法，设而不求，利用中点坐标公式建立联系典型例题已知抛物线，过点，作条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点的轨迹方程思路分析利用点差法求解，同时以斜率为出发点构造等量关系解设弦的中点为，并设的坐标分别为由题意有𝑦𝑥又由𝑥𝑥，𝑦𝑦得𝑦−𝑦，即𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦又𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦，即，𝑦故弦的中点的轨迹方程为𝑦有关弦的中点问题常设出弦的中点和端点坐标，根端点在曲线和直线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系定点值问题在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成定点值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定定点或定值是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的解析几何中的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决其证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下变量选择适当的量为变量函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数定值把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值对于定点问题的处理般有两种方法特殊值法找点，然后进行证明直接由题设条件进行推导，常用到定点直线系定点曲线系等知识典型例题在平面直角坐标系中，已知双曲线设椭圆若，分别是，上的动点，且⊥，求证到直线的距离是定值证明当直线垂直于轴时，则到直线的距离为当直线不垂直于轴时，设直线的方程为显然𝑘，则直线的方程为𝑘由𝑦𝑘𝑥，𝑥𝑦得𝑥𝑘所以𝑘𝑘同理可得𝑘𝑘设到直线的距离为在中，即𝑑𝑂𝑀𝑂𝑁𝑘𝑘，解得综上可知，到直线的距离是定值与圆锥曲线有关的参数范围问题的求法不等式组求解法利用题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式组，通过解不等式组得出参数的范围函数值域法把所讨论的参数作为个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围最值问题的求法平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另焦点的距离，再从几何图形的几何意义去解决有关的最值问题目标函数法建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值判别式法两分法配方法函数的单调性法基本不等式法典型例题已知椭圆𝑥过点，作圆的切线交椭圆于，两点求椭圆的焦点坐标和离心率将表示为的函数，并求的最大值解由已知得所以𝑎𝑏所以椭圆的焦点坐标为离心率为𝑐𝑎由题意知，当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，此时当时，同理可得当时，设切线的方程为由𝑦𝑘𝑥𝑚，𝑥𝑦得设，两点的坐标分别为则𝑘𝑘，𝑘𝑚𝑘又与圆相切，故𝑘𝑚𝑘，即所以𝑥𝑥𝑦𝑦𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑘𝑘𝑚𝑘𝑘𝑚𝑘𝑚由于当时所以𝑚，，，因为𝑚𝑚𝑚，当且仅当时所以的最大值为典型例题设圆与两圆，中的个内切，另个外切求圆的圆心轨迹的方程已知点且为上的动点，求的最大值及此时点的坐标解设圆的圆心坐标为半径为圆的圆心为半径为，圆的圆心为半径为由题意得𝐶𝐹，𝐶𝐹𝑟或𝐶𝐹，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线，其方程为𝑥由图知，当三点共线，且点在线段延长线上时，取得最大值，且直线的方程为，与双曲线方程联立得𝑦𝑥整理得解得舍去此时当取得最大值时，点的坐标为，抛物线与直线有个公共点是直线与抛物线相切的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解析当直线与抛物线的对称轴平行时，与抛物线也有个公共点答案已知直线与椭圆相切，则，之间的关系式为解析联立两方程后，利用元二次方程的判别式来判断答案已知双曲线−