题型平面向量数量积的运算解析答案已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为解析答案思维升华如图，在平行四边形中，已知，则解析由，得因为，所以，即又因为所以跟踪训练解析答案已知正方形的边长为，为的中点，则解析由题意知解析答案命题点求向量的模例已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则解析因为向量，均为单位向量，它们的夹角为，所以题型二用数量积求向量的模夹角解析答案湖南在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是解析设由，及又，知，即动点的轨迹为以点为圆心的单位圆问题转化为圆上的点与点，间距离的最大值圆心，与点，之间的距离为，故的最大值为解析答案命题点求向量的夹角例重庆若非零向量，满足，且⊥，则与的夹角为解析由⊥得，即又，设即，又，解析答案若向量已知与的夹角为钝角，则的取值范围是解析答案思维升华已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则跟踪训练解析答案在中，若，则的最小值是解析，即，解析答案例广东在平面直角坐标系中，已知向量，若⊥，求的值解因为⊥所以，即，所以，所钝角，则有，反之不成立失误与防范返回练出高分若向量，满足，与的夹角为，则解析，解析答案已知向量，若向量，的夹角为，则实数解析，，解析答案设向量，是夹角为的单位向量，若则向量在方向上的投影为解析向量，是夹角为的单位向量，又，，向量在方向上的投影为解析答案如图，在中，若为边的三等分点，则解析答案的外接圆圆心为，半径为且，则在方向上的投影为解析答案在中，是的中点点在上，且满足，则的值为所以解析由题意得，解析答案如图，在中，为中点，若，则解析因为，所以，又，所以，所以，所以解析答案在中，若，则点是的填“重心”“垂心”“内心”或“外心”解析，⊥，即为底边上的高所在直线同理，故是的垂心垂心解析答案已知求与的夹角解又，又，解析答案求解，解析答案若求的面积解与的夹角，又解析答案在中，角的对边分别为，向量且解由，得，求的值所以因为，所以解析答案若求角的大小及向量在方向上的投影解由正弦定理，得，则，因为，所以，则由余弦定理得，解得，故向量在方向上的投影为解析答案已知点在圆上运动，且⊥若点的坐标为则的最大值为解析答案在中设点，满足若，则解析即解析答案如图，在矩形中，点为的中点，点在上，若，则的值是解析依题意得解析答案已知中，且则的取值范围是解析答案第五章平面向量平面向量的数量积内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析易错警示系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习，平面向量的数量积定义设两个非零向量，的夹角为，则数量叫做与的数量积或内积，记作向量的夹角已知两个非零向量和，作则就是向量与的夹角，向量夹角的范围是知识梳理答案投影叫做向量在方向上的射影，叫做向量在方向上的射影几何意义数量积等于的长度与在的方向上的射影的乘积答案平面向量数量积的性质设，都是非零向量，是单位向量，为与或的夹角则⊥⇔当与同向时，当与反向时，特别地或答案平面向量数量积满足的运算律为实数•••平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量则，由此得到答案若则或设则，两点间的距离设两个非零向量则⊥⇔答案判断下面结论是否正确请在括号中打或“”向量在另个向量方向上的投影为数量，而不是向量两个向量的数量积是个实数，向量的加减数乘运算的运算结果是向量在四边形中，且，则四边形为矩形两个向量的夹角的范围是由可得或思考辨析答案已知向量与的夹角为，且则即，由此求得考点自测解析由题意可得，解析答案已知菱形的边长为，，则解析如图所示，由题意，得解析答案已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则解析解析答案已知为圆上的三点，若，则与的夹角为解析由可知点为的中点，即为圆的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以，所以与的夹角为解析答案已知与的夹角，则向量在向量方向上的投影为解析由数量积的定义知，在方向上的投影为解析答案返回题型分类深度剖析例四川设四边形为平行四边形，若点，满足则解析题型平面向量数量积的运算解析答案已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为的最大值为解析答案思维升华如图，在平行四边形中，已知，则解析由，得因为，所以，即又因为所以跟踪训练解析答案已知正方形的边长为，为的中点，则解析由题意知