，解得，故综上所述，存在点符合题意，方法二证明由，是的中点，得⊥又⊥平面，所以⊥因为∩，所以⊥平面，故⊥解如右图，在平面内作⊥于，连接由知⊥，得⊥平面又平面，所以平面，解法二如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则是的中点设平面的法向量，∥，∥得取，⊥，⊥⊥平面，⊥，⊥，四边形是矩形解法如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，由题设，∥平面，平面∩平面，∥，∥，∥同理∥，∥，∥，四边形是平行四边形又的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值解析由该四面体的三视图可知，⊥，⊥，⊥的大小为，由题意知为锐角，则因此即所求二面角正弦值为陕西理四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于在图中平面的个法向量为，设平面的法向量图又，由得其中个设二面角为二面角的平面角，在中由∽知因此，从而即二面角的正弦值为方法二，从而⊥，所以⊥方法在图中过作⊥，垂足为连，由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得因而所以因此，即⊥又⊥，因此⊥平面又⊂平面，所以⊥方法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平，分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解析方法过作⊥，垂足为，连接，由≌可证出≌，图所以，解得又三解答题辽宁理如图，和所在平面互相垂直，且，直角坐标系则，，则设平面的法向量为，由角的余弦值为已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为答案解析不妨设正三棱柱的棱长为，建立如右图所示空间则，于是得所以所以异面直线与夹则异面直线与夹角的余弦值为答案解析根据题意，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴轴轴，建立空间直角坐标系，则则异面直线与夹角的余弦值为答案解析根据题意，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴轴轴，建立空间直角坐标系，则，于是得所以所以异面直线与夹角的余弦值为已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为答案解析不妨设正三棱柱的棱长为，建立如右图所示空间直角坐标系则，，则设平面的法向量为，由，解得又三解答题辽宁理如图，和所在平面互相垂直，且分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解析方法过作⊥，垂足为，连接，由≌可证出≌，图所以，即⊥又⊥，因此⊥平面又⊂平面，所以⊥方法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得因而所以因此，从而⊥，所以⊥方法在图中过作⊥，垂足为连，由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此为二面角的平面角，在中由∽知因此，从而即二面角的正弦值为方法二在图中平面的个法向量为，设平面的法向量图又，由得其中个设二面角的大小为，由题意知为锐角，则因此即所求二面角正弦值为陕西理四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值解析由该四面体的三视图可知，⊥，⊥，⊥，由题设，∥平面，平面∩平面，∥，∥，∥同理∥，∥，∥，四边形是平行四边形又⊥，⊥⊥平面，⊥，⊥，四边形是矩形解法如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则设平面的法向量，∥，∥得取解法二如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则是的中点分别为，的中点，得设平面的法向量，则，得取选择题若平面的个法向量，直线的方向向量，则与夹角的余弦值为答案解析设平面的个法向量为则⇒令得，又，所以与平面所成的角为三解答题新课标Ⅰ理如图三棱柱中，侧面为菱形，⊥证明若⊥，求二面角的余弦值解析连结，交于点，连结，因为侧面为菱形，所以⊥，且为及的中点又⊥，所以⊥平面，由于⊂平面，故⊥又，故因为⊥，且为的中点，所以又因为，所以≌，故⊥，从而两两互相垂直以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系因为，所以为等边三角形，又，则，设是平面的法向量，则即，所以可取设是平面的法向量，则同理可取则所以二面角的余弦值为如图，在三棱锥中为的中点，⊥平面，垂足落在线段上，已知，证明⊥在线段上是否存在点，使得二面角为直二面角若存在，求出的长若不存在，请说明理由解析方法证明如右图，以为原点，以射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系则，由此可得，所以⊥，即⊥解假设存在满足题意的，设，≠，则，设平面的法向量，平面的法向量由，得即可取由，即得可取由，得，解得，故综上所述，存在点符合题意，方法二证明由，是的中点，得⊥又⊥平面，所以⊥因为∩，所以⊥平面，故⊥解如右图，在平面内作⊥于，连接由知⊥，得⊥平面又平面，所以平面⊥平面在中得在中在中所以，得在中得又，从而，所以综上所述，存在点符合题意，第二章夹角的计算选择题平面的个法向量为，平面的个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为以上都不对答案解析平面与平面夹角的余弦值为如图，长方体中，为的中点，则与所成角的余弦值为答案解析分别以为轴建立空间直角坐标系，则已知，分别是棱长为的正方体的棱，的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是答案解析以为坐标原点，以分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，如图，则设平面的法向量为则⇒取，则，而平面的个法向量为如图，四面体中，⊥平面那么二面角的余弦值为答案解析如图，作⊥于，作⊥于，与的夹角恰是二面角的平面角，设，则易得可以求得，即，另解如图建立空间直角坐标系，不妨设则，设平面的法向量，即不妨取，又平面的法向理为直三棱柱中，分别为的中点，若，则与所成角的余弦值为答案解析如图所示，取直线分别为轴轴轴建立直角坐标系，设，则故选在正方体中，若分别是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值等于答案解析解法过作的平行线交于，则即为所求设正方体棱长为，解法二分别以为轴轴轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，则易知平面的个法向量为，，设直线与平面所成角，则，二填空题如图所示，在直三棱柱中则异面直线与夹角的余弦值为答案解析根据题意，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴轴轴，建立空间直角坐标系，则，于是得所以所以异面直线与夹角的余弦值为已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为答案解析不妨设正三棱柱的棱长为，建立如右图所示空间直角坐标系则，，则设平面的法向量为，由，解得又三解答题辽宁理如图，和所在平面互相垂直，且分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解析方法过作⊥，垂足为，连接，由≌可证出≌，图所以，即⊥又⊥，因此⊥平面又⊂平面，所以⊥方法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得因而所以因此，从而⊥，所以⊥方法在图中过作⊥，垂足为连，由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此为二面角的平面角，在中由∽则异面直线与夹角的余弦值为答案解析根据题意，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴轴轴，建立空间直角坐标系，则，于是得所以所以异面直线与夹角的余弦值为已知正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为答案解析不妨设正三棱柱的棱长为，建立如右图所示空间直角坐标系则，，则设平面的法向量为，由，解得又三解答题辽宁理如图，和所在平面互相垂直，且分别为的中点求证⊥求二面角的正弦值解析方法过作⊥，垂足为，连接，由≌可证出≌，图所以，即⊥又⊥，因此⊥平面又⊂平面，所以⊥方法二由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得因而所以因此，从而⊥，所以⊥方法在图中过作⊥，垂足为连，由平面⊥平面，从而⊥平面，又⊥，由三垂线定理知⊥因此为二面角的平面角，在中由∽知因此，从而即二面角的正弦值为方法二在图中平面的个法向量为，设平面的法向量图又，由得其中个设二面角的大小为，由题意知为锐角，则因此即所求二面角正弦值为陕西理四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值解析由该四面体的三视图可知，⊥，⊥，⊥，由题设，∥平面，平面∩平面，∥，∥，∥同理∥，∥，∥，四边形是平行四边形又⊥，⊥⊥平面，⊥，⊥，四边形是矩形解法如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则设平面的法向量，∥，∥得取解法二如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则是的中点分别为，的中点，得设平面