则与共线若与共面，则④若，则，共面其中，真命题的个数是若∈，则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件已知空间四边形，其对角线是，分别是对边，的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量应是若平面与的法向量分别是，则平面与的位置关系是平行垂直相交但不垂直无法确定如果椭圆的弦被点，平分，那么这条弦所在的直线的方程是当∈，时，二次曲线的离心率的取值范围是与轴相切且和曲线内切的动圆的圆心的轨迹方程是若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是已知定点动点，分别在抛物线及曲线上，若在的上方，且∥轴，则的周长的取值范围是，已知点是椭圆上的动点为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上点，且，则的取值范围是二填空题本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在答题卡相应位置上若向量的夹角的余弦值为，则已知平面的个法向量，点在内，则点到的距离为过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于椭圆的左右焦点分别为弦过，若的内切圆周长为两点的坐标分别为，和则的值为已知双曲线的实轴为，虚轴为，将坐标系的右半平面沿轴折起，使双曲线的右焦点折至点，若点在平面内的射影恰好是该双曲线的左顶点，且直线与平面所成角的正切值为，则三解答题本大题共小题，共分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤如图所示，设为所在平面外点为的中点试用表示若求如图，已知正方体，棱长为，为面的中心，求异面直线与之间的距离求二面角的平面角的余弦值已知椭圆的左右焦点为离心率为，直线与轴轴分别交于点，是直线与椭圆的个公共点，且计算椭圆的离心率若直线向右平移个单位后得到，被椭圆截得的弦长为，则求椭圆的方程已知中心在原点的双曲线的离心率为，条准线方程为求双曲线的标准方程若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且其中为原点，求的取值范围如图，已知直线与抛物线相切于点且与轴交于点，定点的坐标为，若动点满足，求点的轨迹Ⅱ若过点的直线斜率不等于零与中的轨迹交于不同的两点在之间，试求与面积之比的取值范围椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点当直线与轴垂直时，Ⅰ求椭圆的方程Ⅱ求过点并且与椭圆的左准线相切的圆的方程Ⅲ求的最值学年福建省福州市高二下期中数学试卷理科参考答案与试题解析选择题本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的有个命题，为空间四点，且不构成空间的个基底，那么点，定共面若与共线，与共线，则与共线若与共面，则④若，则，共面其中，真命题的个数是考点空间点线面的位置向量的共线定理专题证明题分析本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线共面的定义和性质对四个命题逐进行判断，即可得到答案解答解，为空间四点，且向量不构成空间的个基底，那么点，定共面这是正确的如果，则与不定共线，所以不正确，如都是零向量，而为非零向量时，此等式不成立④若，则共面，故四点共面，故④正确所以④正确故选点评本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明个命题不正确，是种简单有效的方法若∈，则是方程表示双曲线的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件考点必要条件充分条件与充要条件的判断双曲线的标准方程专题计算题分析先求出方程表示双曲线时的取值范围，然后根据根据若⇒与⇒的真假命题，进行判定即可解答解方程表示双曲线解得或⇒或是真命题，反之是假命题是的充分非必要条件故选点评本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是判断命题与命题所表示的范围大小，再根据谁大谁必要，谁小谁充分的原则，判断命题与命题的关系已知空间四边形，其对角线是，分别是对边，的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量应是考点向量的几何表示向量在几何中的应用专题计算题分析根据所给的图形和组基底，从起点出发，绕着图形的棱到，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果解答解故选点评本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程若平面与的法向量分别是，则平面与的位置关系是平行垂直相交但不垂直无法确定考点向量语言表述面面的垂直平行关系专题计算题分析先计算向量与向量的数量积，根据数量积为得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系解答解⊥平面与平面垂直故选点评本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题如果椭圆的弦被点，平分，那么这条弦所在的直线的方程是考点直线与圆锥曲线的关系专题计算题分析设这条弦与椭圆交于由中点坐标公式知把，代入，得，由此能求出这条弦所在的直线的方程解答解设这条弦与椭圆交于由中点坐标公式知把，代入，得得这条弦所在的直线的方程，即故选点评本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化当∈，时，二次曲线的离心率的取值范围是考点双曲线的简单性质专题计算题分析先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求解答解二次曲线为双曲线，则故选点评本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系与轴相切且和曲线内切的动圆的圆心的轨迹方程是考点轨迹方程专题计算题分析设圆心为则动圆的半径为，因为与已知圆内切，还要与轴相切，所以可知的范围为再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程解答解设动圆圆心为由动圆切于轴，故又由动圆与已知圆内切可知，整理得由于半圆需满足的条件，故选点评本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是考点双曲线的简单性质椭圆的简单性质专题计算题分析若方程表示双曲线则即，当，时，曲线表示焦点在轴的双曲线，当，时，曲线表示焦点在轴的双曲线，结合选项可判定解答解若方程表示双曲线则即当，时，曲线表示焦点在轴的双曲线的方程没有意义由于，表示焦点在轴上的椭圆，由于，表示焦点在轴上的椭圆则此情况不符合题意，舍去当，时，曲线表示焦点在轴的双曲线由于，表示曲线是焦点在轴上的椭圆由于，方程没有意义由于，表示焦点在轴上上的椭圆由于，方程没有意义综合可得符合题意故选点评本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查已知定点动点，分别在抛物线及曲线上，若在的上方，且∥轴，则的周长的取值范围是，考点椭圆的简单性质抛物线的简单性质专题计算题分析可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出，点的纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的点纵坐标范围计算即可解答解由得，抛物线及曲线在第二象限的交点纵坐标为，设则由可得，三角形的周长，故选点评本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知已知点是椭圆上的动点为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上点，且，则的取值范围是考点椭圆的简单性质数量积判断两个平面向量的垂直关系专题计算题分析结合椭圆的图象，当点在椭圆与轴交点处时，点与原点重合，此时取最小值当点在椭圆与轴交点处时，点与焦点重合，此时取最大值，由此能够得到的取值范围解答解由题意得，当在椭圆的短轴顶点处时，与重合，取得最小值等于当在椭圆的长轴顶点处时，与重合，取得最大值等于由于≠，故的取值范围是，故选点评本题考查椭圆的定义标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍二填空题本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在答题卡相应位置上若向量的夹角的余弦值为，则考点空间向量的数量积运算专题计算题对应思想向量法空间向量及应用分析根据向量的夹角公式即可求出答案解答解向量，的夹角的余弦值为解得，故答案为点评考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题已知平面的个法向量，点在内，则点到的距离为考点点线面间的距离计算专题计算题分析先求出的坐标，利用向量的知识，点到的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值解答解，在法向量方向上的投影等于，则点到的距离为故答案为点评本题考查点面距离的计算利用向量的方法降低思维难度，使问题更容易解决过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为，则等于考点抛物线的简单性质专题计算题圆锥曲线的定义性质与方程分析根据抛物线方程得它的准线为，从而得到线段中点到准线的距离等于过分别作与垂直，垂足分别为，根据梯形中位线定理算出，结合抛物线的定义即可算出的长解答解抛物线方程为，抛物线的焦点为准线为设线段的中点为则到准线的距离为，过分别作与垂直，垂足分别为根据梯形中位线定理，可得再由抛物线的定义知，故答案为点评本题给出过抛物线焦点的条弦中点的横坐标，求该弦的长度着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题椭圆的左右焦点分别为弦过，若的内切圆周长为两点的坐标分别为，和则的值为考点椭圆的简单性质专题计算题分析先根据椭圆方程求得和，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据的面积的面积的面积求得的面积进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得的值解答解椭圆左右焦点，的内切圆周长为，则内切圆的半径为，而的面积的面积的面积在轴的上下两侧又的面积═所以，故答案为点评本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简