例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习两向量的夹角定义条件是空间的两个向量作法在空间中任取点，作，结论叫做向量与的夹角，记作范围，，其中，当，时，与的方向当，时，与的方向当，时，与互相，记作非零相同相反垂直⊥异面直线定义的两条直线叫做异面直线所成的角把异面直线平移到个，这时两条直线的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角特例两条异面直线所成的角是，则称两条异面直线互相垂直不在任何个平面内平面内夹角直角二空间向量的数量积定义条件是两个非零向量结论把叫做的数量积内积性质，可以用常规方法，也可以用向量夹角公式求解，应先求出解析因为，所以，直线与所成角的余弦值为如图所示，在空间四边形中，，，求与夹角的余弦值分析求异面直线所成的角，又直线与所成角为示，然后据定义进行计算，特别注意与的夹角是其方向的夹角如，易错写成解析长都等于，点，分别是的中点，计算分析求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线类似可得分别为的中点，又，分别是，的中点又所选定的从同顶点出发的三向量的模长任意两向量的夹角是多少向量的关系数量积的运算是本题的主线解析分析数量积公式的直接运用，关键是明确向量间的关系和正四面体的结构各向量能否表示为从同顶点出发的三向量的组合的形式例如，能否表示为的线性组合例讲练向量数量积的求解已知空间四边形的每条边和对角线都等于，如图所示，点分别是的中点，求下列向量的数量积课堂典答案答案解析已知正四面体的棱长为，求其中正确命题的个数是个个个个答案解析根据数量积的定义知正确，与的夹角为，不正确，故选已知正方体的棱长为，则，根据题中条件，可得，即的模为在正方体中，有下列命题与的夹角为，根据题中条件，可得，即的模为在正方体中，有下列命题与的夹角为其中正确命题的个数是个个个个答案解析根据数量积的定义知正确，与的夹角为，不正确，故选已知正方体的棱长为，则答案解析已知正四面体的棱长为，求答案课堂典例讲练向量数量积的求解已知空间四边形的每条边和对角线都等于，如图所示，点分别是的中点，求下列向量的数量积分析数量积公式的直接运用，关键是明确向量间的关系和正四面体的结构各向量能否表示为从同顶点出发的三向量的组合的形式例如，能否表示为的线性组合所选定的从同顶点出发的三向量的模长任意两向量的夹角是多少向量的关系数量积的运算是本题的主线解析又类似可得分别为的中点，又，分别是，的中点如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，分别是的中点，计算分析求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后据定义进行计算，特别注意与的夹角是其方向的夹角如，易错写成解析，又直线与所成角为直线与所成角的余弦值为如图所示，在空间四边形中，，，求与夹角的余弦值分析求异面直线所成的角，可以用常规方法，也可以用向量夹角公式求解，应先求出解析因为，所以所以，所以与夹角的余弦值为总结反思用向量夹角公式解决异面直线所成的角的问题时，应注意角的范围，向量夹角的范围是，异面直线所成的角的范围是当用夹角公式求出的角为钝角时，它的补角才等于异面直线所成的角在正方体中，为与的交点，为的中点，求证⊥平面分析要证线面垂直，只需证明线线垂直从而转化为两向量互相垂直，即⊥⇔垂直问题证明设，由已知，而，所以所以⊥，⊥又交于点，所以⊥平面总结反思利用空间向量数量积可求解有关长度夹角直线与直线证明垂直等问题此类问题考查数形结合思想转化与化归思想已知空间四边形中，，且，分别是的中点，是的中点求证⊥证明如图，连接设，又设，则，⊥易混易错辨析已知四面体的每条棱长都为，求在上的投影在上的投影误解，正解在上的投影是在上的投影是，总结反思虽然结果正确，但不符合定义要求中与的夹角搞错了成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章空间向量的运算第课时空间向量的数量积第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习两向量的夹角定义条件是空间的两个向量作法在空间中任取点，作，结论叫做向量与的夹角，记作范围，，其中，当，时，与的方向当，时，与的方向当，时，与互相，记作非零相同相反垂直⊥异面直线定义的两条直线叫做异面直线所成的角把异面直线平移到个，这时两条直线的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角特例两条异面直线所成的角是，则称两条异面直线互相垂直不在任何个平面内平面内夹角直角二空间向量的数量积定义条件是两个非零向量结论把叫做的数量积内积性质，为单位向量⊥⇔，运算律空间向量满足数乘向量与向量数量积的结合律交换律分配律知识要点解读两向量的夹角由定义知，两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为，反向时夹角为，规定，零向量与其他向量之间不定义夹角，并特别约定与任何向量都是共线的，即在研究垂直时，也认为⊥对任意两向量有，向量的数量积两向量的数量积，其结果为数量而不是向量，数量积的正负由两向量夹角余弦值决定两向量数量积是两向量之间的种乘法，与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要把它们区别开来，内积写成，而不能写成的几何意义为与的数量积等于的模与在上的投影，的乘积，也等于的模与在上的投影，的乘积数量积的运算律两空间向量数量积的运算律要结合空间图形加深理解向量的数量积不满足消去律，即由且不能得出实际上，由知，若，则若，则⊥向量的数量积不满足结合律，即空间向量没有除法，即对于三个非零向量，若，没有的形式预习效果检测已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是，的中点，则答案已知中，为直角，与的长度都为，垂直于三角形确定的平面，且，则向量的模是答案解析的模为，根据题中条件，可得，即的模为在正方体中，有下列命题与的夹角为其中正确命题的个数是个个个个答案解析根据数量积的定义知正确，与的夹角为，不正确，故选已知正方体的棱长为，则答案解析已知正四面体的棱长为，求答案课堂典例讲，根据题中条件，可得，即的模为在正方体中，有下列命题与的夹角为其中正确命题的个数是个个个个答案解析根据数量积的定义知正确，与的夹角为，不正确，故选已知正方体的棱长为，则答案解析已知正四面体的棱长为，求答案课堂典例讲练向量数量积的求解已知空间四边形的每条边和对角线都等于，如图所示，点分别是的中点，求下列向量的数量积分析数量积公式的直接运用，关键是明确向量间的关系和正四面体的结构各向量能否表示为从同顶点出发的三向量的组合的形式例如，能否表示为的线性组合所选定的从同顶点出发的三向量的模长任意两向量的夹角是多少向量的关系数量积的运算是本题的主线解析又类似可得分别为的中点，又，分别是，的中点如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，分别是的中点，计算分析求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后据定义进行计算，特别注意与的夹角是其方向的夹角如，易错写成解析其中正确命题的个数是个个个个答案解析根据数量积的定义知正确，与的夹角为，不正确，故选已知正方体的棱长为，则答案例讲练向量数量积的求解已知空间四边形的每条边和对角线都等于，如图所示，点分别是的中点，求下列向量的数量积所选定的从同顶点出发的三向量的模长任意两向量的夹角是多少向量的关系数量积的运算是本题的主线解析，类似可得分别为的中点，又，分别是，的中点，长都等于，点，分别是的中点，计算分析求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表，直线与所成角的余弦值为如图所示，在空间四边形中，，，求与夹角的余弦值分析求异面直线所成的角例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习两向量的夹角定义条件是空间的两个向量作法在空间中任取点，作，结论叫做向量与的夹角，记作范围，，其中，当，时，与的方向当，时，与的方向当，时，与互相，记作非零相同相反垂直⊥异面直线定义的两条直线叫做异面直线所成的角把异面直线平移到个，这时两条直线的锐角或直角叫做两条异面直线所成的角特例两条异面直线所成的角是，则称两条异面直线互相垂直不在任何个平面内平面内夹角直角二空间向量的数量积定义条件是两个非零向量结论把叫做的数量积内积性质